知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于\(A(-1,0)\)，\(B(4,0)\)，\(C(0,-4)\)三点，点\(P\)是直线\(BC\)下方抛物线上一动点．
\((1)\)求这个二次函数的解析式；
\((2)\)是否存在点\(P\)，使\(\triangle POC\)是以\(OC\)为底边的等腰三角形？若存在，求出\(P\)点坐标；若不存在，请说明理由；
\((3)\)动点\(P\)运动到什么位置时，\(\triangle PBC\)面积最大，求出此时\(P\)点坐标和\(\triangle PBC\)的最大面积．

难度：难

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2．
如图，已知抛物线\(y=ax^{2}- \dfrac {3}{2}x+c\)与\(x\)轴相交于\(A\)、\(B\)两点，并与直线\(y= \dfrac {1}{2}x-2\)交于\(B\)、\(C\)两点，其中点\(C\)是直线\(y= \dfrac {1}{2}x-2\)与\(y\)轴的交点，连接\(AC\)．
\((1)\)求抛物线的解析式；
\((2)\)证明：\(\triangle ABC\)为直角三角形；
\((3)\triangle ABC\)内部能否截出面积最大的矩形\(DEFG\)？\((\)顶点\(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\)在\(\triangle ABC\)各边上\()\)若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．

难度：难

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3．
如图，抛物线\(y=ax^{2}+bx+c\)经过\(\triangle ABC\)的三个顶点，与\(y\)轴相交于\((0, \dfrac {9}{4})\)，点\(A\)坐标为\((-1,2)\)，点\(B\)是点\(A\)关于\(y\)轴的对称点，点\(C\)在\(x\)轴的正半轴上．
\((1)\)求该抛物线的函数关系表达式．
\((2)\)点\(F\)为线段\(AC\)上一动点，过\(F\)作\(FE⊥x\)轴，\(FG⊥y\)轴，垂足分别为\(E\)、\(G\)，当四边形\(OEFG\)为正方形时，求出\(F\)点的坐标．
\((3)\)将\((2)\)中的正方形\(OEFG\)沿\(OC\)向右平移，记平移中的正方形\(OEFG\)为正方形\(DEFG\)，当点\(E\)和点\(C\)重合时停止运动，设平移的距离为\(t\)，正方形的边\(EF\)与\(AC\)交于点\(M\)，\(DG\)所在的直线与\(AC\)交于点\(N\)，连接\(DM\)，是否存在这样的\(t\)，使\(\triangle DMN\)是等腰三角形？若存在，求\(t\)的值；若不存在请说明理由．

难度：难

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4．
如图，已知抛物线\(y=ax^{2}+bx-2(a\neq 0)\)与\(x\)轴交于\(A\)、\(B\)两点，与\(y\)轴交于\(C\)点，直线\(BD\)交抛物线于点\(D\)，并且\(D(2,3)\)，\(\tan ∠DBA= \dfrac {1}{2}\)．
\((1)\)求抛物线的解析式；
\((2)\)已知点\(M\)为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点\(B\)、\(M\)、\(C\)、\(A\)，求四边形\(BMCA\)面积的最大值；
\((3)\)在\((2)\)中四边形\(BMCA\)面积最大的条件下，过点\(M\)作直线平行于\(y\)轴，在这条直线上是否存在一个以\(Q\)点为圆心，\(OQ\)为半径且与直线\(AC\)相切的圆？若存在，求出圆心\(Q\)的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：难

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5．
如图，抛物线\(y=-x^{2}+bx+c\)与\(x\)轴分别交于\(A(1,0)\)，\(B(-5,0)\)两点．
\((1)\)求抛物线的解析式；
\((2)\)在第一象限内取一点\(C\)，作\(CD\)垂直\(x\)轴于点\(D\)，连接\(AC\)，且\(AD=5\)，\(CD=8\)，将\(Rt\triangle ACD\)沿\(x\)轴向左平移\(m\)个单位，当点\(C\)落在抛物线上时，求\(m\)的值；
\((3)\)在\((2)\)的条件下，当点\(C\)第一次落在抛物线上记为点\(E\)，点\(P\)是抛物线对称轴上一点\(.\)试探究：在抛物线上是否存在点\(Q\)，使以点\(B\)、\(E\)、\(P\)、\(Q\)为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点\(Q\)的坐标；若不存在，请说明理由．

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6．
如图\(1\)，在平面直角坐标系中，直线\(y=-x+1\)与抛物线\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq 0)\)相交于点\(A(1,0)\)和点\(D(-4,5)\)，并与\(y\)轴交于点\(C\)，抛物线的对称轴为直线\(x=-1\)，且抛物线与\(x\)轴交于另一点\(B\)．
\((1)\)求该抛物线的函数表达式；
\((2)\)若点\(E\)是直线下方抛物线上的一个动点，求出\(\triangle ACE\)面积的最大值；
\((3)\)如图\(2\)，若点\(M\)是直线\(x=-1\)的一点，点\(N\)在抛物线上，以点\(A\)，\(D\)，\(M\)，\(N\)为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点\(M\)的坐标；若不能，请说明理由．

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7．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，二次函数\(y=mx^{2}-(m+n)x+n(m < 0)\)的图象与\(y\)轴正半轴交于\(A\)点．
\((1)\)求证：该二次函数的图象与\(x\)轴必有两个交点；
\((2)\)设该二次函数的图象与\(x\)轴的两个交点中右侧的交点为点\(B\)，若\(∠ABO=45^{\circ}\)，将直线\(AB\)向下平移\(2\)个单位得到直线\(l\)，求直线\(l\)的解析式；
\((3)\)在\((2)\)的条件下，设\(M(p,q)\)为二次函数图象上的一个动点，当\(-3 < p < 0\)时，点\(M\)关于\(x\)轴的对称点都在直线\(l\)的下方，求\(m\)的取值范围．

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8．
如图，矩形\(OABC\)的两边在坐标轴上，点\(A\)的坐标为\((10,0)\)，抛物线\(y=ax^{2}+bx+4\)过点\(B\)，\(C\)两点，且与\(x\)轴的一个交点为\(D(-2,0)\)，点\(P\)是线段\(CB\)上的动点，设\(CP=t(0 < t < 10)\)．
\((1)\)请直接写出\(B\)、\(C\)两点的坐标及抛物线的解析式；
\((2)\)过点\(P\)作\(PE⊥BC\)，交抛物线于点\(E\)，连接\(BE\)，当\(t\)为何值时，\(∠PBE=∠OCD\)？
\((3)\)点\(Q\)是\(x\)轴上的动点，过点\(P\)作\(PM/\!/BQ\)，交\(CQ\)于点\(M\)，作\(PN/\!/CQ\)，交\(BQ\)于点\(N\)，当四边形\(PMQN\)为正方形时，请求出\(t\)的值．

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9．
如图，抛物线\(y=- \dfrac {1}{2}x^{2}+bx+c\)与\(x\)轴交于\(A(-1,0)\)、\(B\)两点，与\(y\)轴交于点\(C(0,2)\)，抛物线的对称轴交\(x\)轴于点\(D\)．
\((1)\)求抛物线的解析式；
\((2)\)求\(\sin ∠ABC\)的值；
\((3)\)在抛物线的对称轴上是否存在点\(P\)，使\(\triangle PCD\)是以\(CD\)为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点\(P\)的坐标；如果不存在，请说明理由；
\((4)\)点\(E\)是线段\(BC\)上的一个动点，过点\(E\)作\(x\)轴的垂线与抛物线相交于点\(F\)，当点\(E\)运动到什么位置时线段\(EF\)最长？求出此时\(E\)点的坐标．

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10．
我市“佳禾”农场的十余种有机蔬菜在北京市场上颇具竞争力\(.\)某种有机蔬菜上市后，一经销商在市场价格为\(10\)元\(/\)千克时，从“佳禾”农场收购了某种有机蔬菜\(2000\) 千克存放入冷库中\(.\)据预测，该种蔬菜的市场价格每天每千克将上涨\(0.2\)元，但冷库存放这批蔬菜时每天需要支出各种费用合计\(148\)元，已知这种蔬莱在冷库中最多保存\(90\)天，同时，平均每天将会有\(6\)千克的蔬菜损坏不能出售．
\((1)\)若存放\(x\)天后，将这批蔬菜一次性出售，设这批蔬菜的销售总金额为\(y\)元，试写出\(y\)与\(x\)之间的函数关系式．
\((2)\)经销商想获得利润\(7200\)元，需将这批蔬菜存放多少天后出售？\((\)利润\(=\)销售总金额\(-\)收购成本\(-\)各种费用\()\)
\((3)\)经销商将这批蔬菜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？

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