知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a、b为实数，关于x的方程|x²+ax+b|=2恒有三个不等的实数根．
（1）求b的最小值；
（2）若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°
（3）若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值．

难度：中等

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2．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且满足：
a+3
c-b
=
a(a-1)
b+c
=k．
（1）求证：k=
a2+3
2c
；
（2）求证：c＞b；
（3）当k=2时，证明：AB是的△ABC最大边．

难度：较难

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3．若三角形的3条边长a，b，c是整数，且一边上的高恰等于另两条边上的高之和，这样的三角形叫做“玲珑三角形”．求证：
（1）存在“玲珑三角形”；
（2）“玲珑三角形”中，a²+b²+c²是一个完全平方数．

难度：中等

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4．已知正数a，b，c满足
a+b+c=32
a+b-c
ab
+
a+c-b
ac
+
b+c-a
bc
=
1
4
，试问：以
a
，
b
，
c
为边能否组成三角形？如果能，请求出这个三角形的最大角的度数；如果不能，请说明理由．

难度：中等

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5．不等边三角形的三边长均为正数，其周长是28，且最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，则这样的三角形共有几个？

难度：中等

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6．如图1，D、E、F分别是△ABC三边AB、BC和AC上的点，若∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，我们称△DEF为△ABC的反射三角形．

（1）若△ABC是正三角形（如图2），猜想其反射三角形的形状，并画出图形加以说明；
（2）如图3，△DEF是△ABC的反射三角形，AB=AC，∠A=50°，求△DEF各个角的度数；
（3）利用图1探究：
①△ABC的三个内角与其反射三角形DEF的对应角（如∠DEF与∠A）之间的数量关系；
②在直角三角形和钝角三角形中，是否存在反射三角形？如果存在，说出其反射三角形的形状；如果不存在，说明理由．

难度：较易

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7．如果斜边为
2009
的直角三角形的两直角边为自然数，则称此三角形为完美三角形，是否存在完美三角形？如果存在，请求出；如果不存在，请证明．

难度：中等

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8．设一个三角形的三边长是a、b、c．
（1）a²、b²、c²一定可以是一个三角形的边长吗？若是，说明理由；若不是，请举例说明．
（2）ab、bc、ca一定可以是一个三角形的三边长吗？若是，说明理由；若不是，请举例说明．
（3）求证：a²+bc、b²+ca、c²+ab一定可以是一个三角形的三边长．

难度：较易

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9．在三角形ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且满足
a+3
c-b
=
a(a-1)
c+b
=k
①求证：k=
a2+3
2c
；
②求证：c＞b；
③当k=2时，证明：AB是△ABC最大边．

难度：较难

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10．假设三边长、周长、面积都为整数的三角形叫做“整数三角形”，请写出所有周长为32的“钝角整数三角形”，分别列出它的三边长．

难度：中等

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