知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
对某一个函数给出如下定义：若存在实数\(M > 0\)，对于任意的函数值\(y\)，都满足\(-M\leqslant y\leqslant M\)，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的\(M\)中，其最小值称为这个函数的边界值\(.\)例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是\(1\)．
\((1)\)分别判断函数 \(y= \dfrac {1}{x}(x > 0)\)和\(y=x+1(-4 < x\leqslant 2)\)是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
\((2)\)若函数\(y=-x+1(a\leqslant x\leqslant b,b > a)\)的边界值是\(2\)，且这个函数的最大值也是\(2\)，求\(b\)的取值范围；
\((3)\)将函数 \(y=x^{2}(-1\leqslant x\leqslant m,m\geqslant 0)\)的图象向下平移\(m\)个单位，得到的函数的边界值是\(t\)，当\(m\)在什么范围时，满足\( \dfrac {3}{4}\leqslant t\leqslant 1\)？

难度：较难

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2．
如图，直线\(y=- \dfrac {1}{2}x-1\)与\(x\)轴交于点\(A\)，与\(y\)轴交于点\(B\)，抛物线\(y=ax^{2}+bx(a\neq 0)\)经过原点和点\(C(4,0)\)，顶点\(D\)在直线\(AB\)上．
\((1)\)求这个抛物线的解析式；
\((2)\)在抛物线的对称轴上是否存在点\(P\)，使得以\(P\)、\(C\)、\(D\)为顶点的三角形与\(\triangle ACD\)相似\(.\)若存在，请求出点\(P\)的坐标；若不存在，请说明理由；
\((3)\)点\(Q\)是\(x\)轴上方的抛物线上的一个动点，若\(\cos ∠OQC= \dfrac {2 \sqrt {5}}{5}\)，\(⊙M\)经过点\(O\)，\(C\)，\(Q\)，求过\(C\)点且与\(⊙M\)相切的直线解析式．

难度：中等

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3．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，过\(y\)轴上一点\(A\)作平行于\(x\)轴的直线交某函数图象于点\(D\)，点\(P\)是\(x\)轴上一动点，连接\(DP\)，过点\(P\)作\(DP\)的垂线交\(y\)轴于点\(E(E\)在线段\(OA\)上，\(E\)不与点\(O\)重合\()\)，则称\(\angle DPE\)为点\(D\)，\(P\)，\(E\)的“平横纵直角”\(.\)图\(1\)为点\(D\)，\(P\)，\(E\)的“平横纵直角”的示意图\(.\) 如图\(2\)，在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知二次函数图象与\(y\)轴交于点\(F(0,m)\)，与\(x\)轴分别交于点\(B(-3,0)\)，\(C(12,0).\) 若过点\(F\)作平行于\(x\)轴的直线交抛物线于点\(N\)．

\((1)\)点\(N\)的横坐标为___________；

\((2)\)已知一直角为点\(N,M,K\)的“平横纵直角”，若在线段\(OC\)上存在不同的两点\({{M}_{1}}\)、\({{M}_{2}}\)，使相应的点\({{K}_{1}}\)、\({{K}_{2}}\)都与点\(F\)重合，试求\(m\)的取值范围；

\((3)\)设抛物线的顶点为点\(Q\)，连接\(BQ\)与\(FN\)交于点\(H\)，当\(45{}^\circ \leqslant \angle QHN\leqslant 60{}^\circ \)时，求\(m\)的取值范围．

难度：较难

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4．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，抛物线\(G\)：\(y=m{{x}^{2}}+2mx+m-1\) \((m\neq 0)\)与\(y\)轴交于点\(C\)，抛物线\(G\)的顶点为\(D\)，直线\(l\)：\(y=mx+m-1(m\neq 0) .\)

\((1)\)当\(m=1\) 时，画出直线\(l\)和抛物线\(G\)，并直接写出直线\(l\)被抛物线\(G\)截得的线段长；

\((2)\)随着\(m\)取值的变化，判断点\(C\)，\(D\)是否都在直线\(l\)上并说明理由；

\((3)\)若直线\(l\)被抛物线\(G\)截得的线段长不小于\(2\)，结合函数的图象，直接写出\(m\)的取值范围．

难度：中等

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5．
如图，已知直线\(y=3x-3\)分别交\(x\)轴、\(y\)轴于\(A\)、\(B\)两点，抛物线\(y=x^{2}+bx+c\)经过\(A\)、\(B\)两点，点\(C\)是抛物线与\(x\)轴的另一个交点\((\)与\(A\)点不重合\()\)．
\((1)\)求抛物线的解析式；
\((2)\)求\(\triangle ABC\)的面积；
\((3)\)在抛物线的对称轴上，是否存在点\(M\)，使\(\triangle ABM\)为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点\(M\)的坐标．

难度：较难

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6．
定义：对于给定的两个函数，任取自变量\(x\)的一个值，当\(x < 0\)时，它们对应的函数值互为相反数；当\(x\geqslant 0\)时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数\(.\)例如：一次函数\(y=x-1\)，它的相关函数为\(y= \begin{cases} \overset{-x+1(x < 0)}{x-1(x\geqslant 0)}\end{cases}\)．
\((1)\)已知点\(A(-5,8)\)在一次函数\(y=ax-3\)的相关函数的图象上，求\(a\)的值；
\((2)\)已知二次函数\(y=-x^{2}+4x- \dfrac {1}{2}.①\)当点\(B(m, \dfrac {3}{2})\)在这个函数的相关函数的图象上时，求\(m\)的值；
\(②\)当\(-3\leqslant x\leqslant 3\)时，求函数\(y=-x^{2}+4x- \dfrac {1}{2}\)的相关函数的最大值和最小值；
\((3)\)在平面直角坐标系中，点\(M\)，\(N\)的坐标分别为\((- \dfrac {1}{2},1)\)，\(( \dfrac {9}{2},1)\)，连结\(MN.\)直接写出线段\(MN\)与二次函数\(y=-x^{2}+4x+n\)的相关函数的图象有两个公共点时\(n\)的取值范围．

难度：中等

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7．
如图\(1\)，在平面直角坐标系\(xOy\)中，抛物线\(C\)：\(y=ax^{2}+bx+c\)与\(x\)轴相交于\(A\)，\(B\)两点，顶点为\(D(0,4)\)，\(AB=4 \sqrt {2}\)，设点\(F(m,0)\)是\(x\)轴的正半轴上一点，将抛物线\(C\)绕点\(F\)旋转\(180^{\circ}\)，得到新的抛物线\(C′\)．
\((1)\)求抛物线\(C\)的函数表达式；
\((2)\)若抛物线\(C′\)与抛物线\(C\)在\(y\)轴的右侧有两个不同的公共点，求\(m\)的取值范围．
\((3)\)如图\(2\)，\(P\)是第一象限内抛物线\(C\)上一点，它到两坐标轴的距离相等，点\(P\)在抛物线\(C′\)上的对应点\(P′\)，设\(M\)是\(C\)上的动点，\(N\)是\(C′\)上的动点，试探究四边形\(PMP′N\)能否成为正方形？若能，求出\(m\)的值；若不能，请说明理由．

难度：较易

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8．
如图所示，有一建筑工地从\(10m\)高的窗口\(A\)处用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点\(M\)离墙\(1m\)，离地面\( \dfrac {40}{3}m.\)
\((1)\)求抛物线的解析式；
\((2)\)求水流落地点\(B\)离墙的距离\(OB\)．

难度：较易

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9．
在平面直角坐标系\(xOy\)中\((O\)为坐标原点\()\)，已知抛物线\(y=x^{2}+bx+c\)过点\(A(4,0)\)，\(B(1,-3)\)．
\((1)\)求\(b\)，\(c\)的值，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
\((2)\)设抛物线的对称轴为直线\(l\)，点\(P(m,n)\)是抛物线上在第一象限的点，点\(E\)与点\(P\)关于直线\(l\)对称，点\(E\)与点\(F\)关于\(y\)轴对称，若四边形\(OAPF\)的面积为\(48\)，求点\(P\)的坐标；
\((3)\)在\((2)\)的条件下，设\(M\)是直线\(l\)上任意一点，试判断\(MP+MA\)是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及相应的点\(M\)的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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10．
如图，在平面直角坐标系中，矩形\(OCDE\)的三个顶点分别是\(C(3,0)\)，\(D(3,4)\)，\(E(0,4).\)点\(A\)在\(DE\)上，以\(A\)为顶点的抛物线过点\(C\)，且对称轴\(x=1\)交\(x\)轴于点\(B.\)连接\(EC\)，\(AC.\)点\(P\)，\(Q\)为动点，设运动时间为\(t\)秒．
\((1)\)填空：点\(A\)坐标为 ______ ；抛物线的解析式为 ______ ．
\((2)\)在图\(①\)中，若点\(P\)在线段\(OC\)上从点\(O\)向点\(C\)以\(1\)个单位\(/\)秒的速度运动，同时，点\(Q\)在线段\(CE\)上从点\(C\)向点\(E\)以\(2\)个单位\(/\)秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动\(.\)当\(t\)为何值时，\(\triangle PCQ\)为直角三角形？
\((3)\)在图\(②\)中，若点\(P\)在对称轴上从点\(A\)开始向点\(B\)以\(1\)个单位\(/\)秒的速度运动，过点\(P\)做\(PF⊥AB\)，交\(AC\)于点\(F\)，过点\(F\)作\(FG⊥AD\)于点\(G\)，交抛物线于点\(Q\)，连接\(AQ\)，\(CQ.\)当\(t\)为何值时，\(\triangle ACQ\)的面积最大？最大值是多少？

难度：较难

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