知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在AB边上时．
①线段DE与AC的位置关系是．（不需证明）
②设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂，则S₁与S₂的数量关系是，证明你的结论；
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．

难度：较难

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2．平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，G点为BC边上一点，连结DG，E点在BC边所在直线上，过E点作EF∥CD交GD于F点．
（1）如图1，若G为BC边中点，EF交GD延长线于F点，tanA=
1
2
，CE=CG，DG=
5
，求EF；
（2）如图2，若E点在BC边上，G为BE中点，且GD平分∠BDC，求证：
2
DB=2FG+DF；
（3）如图3，若E点在BC延长线上，G为BE中点，且∠GDC=30°，问（2）中结论还成立吗？若不成立，那么线段DB、FG、DF满足怎样的数量关系，请直接写出结论．

难度：较难

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3．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的好点．等边△DEF的三个顶点刚好在坐标轴上，其中D点坐标为（0，4）．

（1）求等边△DEF内切圆C的半径；
（2）当⊙O的半径为2时，若直线DE上的点P（m，n）是⊙O的好点，求m的取值范围；
（3）若线段EF上的所有点都是某个圆的好点，求这个圆的半径r的取值范围．

难度：较难

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4．两个全等的直角三角板ABC和DEF重叠在一起，∠BAC=∠EDF=30°，AC=DF=2．△ABC固定不动，将△DEF沿AC平移（点D在线段AC上移动）．
（1）猜想与证明：如图①，当点D为AC的中点时，请你猜想四边形BDCE的性状，并证明结论；
（2）思考与验证：如图②，连接BD，BE，CE，四边形BDCE的形状在不断的变化，它的面积变化吗？若不变，求出其面积；若变化，请说明理由；
（3）操作与计算：如图③，当点D为AC的中点时，将点D固定，然后再将△DEF绕点D顺时针旋转60°，若点P为线段AC延长线上一动点，求PE+PF的最小值．

难度：较难

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5．如图，边长为4的等边三角形ABC是三棱锥的一个横截面，一束光线沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的D点处（D与B，C 两点不重合），反射光线又从边AC射出去，DK为法线，设BE的长为x，AF的长为y．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象．

难度：中等

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6．已知：∠BAC＞90°，∠ACB=30°，AB=DB=DC，求∠CAD的度数．

难度：中等

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7．如图，在菱形OABC中，点A落在x轴正半轴，反比例函数y=
k
x
（k＞0，x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，以AD为一边向右作菱形AEFD，点E落在x轴上．已知∠AOC=30°，OA•AE=12，则菱形OABC的面积与菱形AEFD的面积差是．

难度：较易

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8．如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=
3
，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．
（1）求证：四边形ABHP是菱形；
（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；
（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．

难度：难

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