知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．证明恒等式：a⁴+b⁴+（a+b）⁴=2（a²+ab+b²）²

难度：较难

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2．已知
1
a
+
1
b
+
1
c
=
1
a+b+c
，求证：n为奇数时，
1
an
+
1
bn
+
1
cn
=
1
an+bn+cn
．

难度：较难

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3．设a、b、c均为正数，且a+b+c=1，证明：
1
a
+
1
b
+
1
c
≥9．

难度：较难

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4．若x+y=a+b，且x²+y²=a²+b²，求证：x¹⁹⁹⁷+y¹⁹⁹⁷=a¹⁹⁹⁷+b¹⁹⁹⁷．

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5．一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希望数”．
（1）请你举例说明：“希望数”一定存在．
（2）请你证明：如果a，b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数．

难度：较难

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6．证明：
a
x-a
+
bx
(x-a)(x-b)
=
a2
(a-b)(x-a)
+
b2
(b-a(x-b)
．

难度：较难

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7．已知a，b，c，x，y，z都是非零实数，且a²+b²+c²=x²+y²+z²=ax+by+cz，求证：
x
a
=
y
b
=
z
c

难度：较难

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8．求证：（b+c-2a）³+（c+a-2b）³+（a+b-2c）³=（b+c-2a）（c+a-2b）（a+b-2c）

难度：较难

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9．已知abc≠0，证明：四个数
(a+b+c)3
abc
、
(b-c-a)3
abc
、
(c-a-b)3
abc
、
(a-b-c)3
abc
中至少有一个不小于6．

难度：较难

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10．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x倍，求证：x=
p+q+2
pq-1
．

难度：较难

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