知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

3．若三角形的3条边长a，b，c是整数，且一边上的高恰等于另两条边上的高之和，这样的三角形叫做“玲珑三角形”．求证：
（1）存在“玲珑三角形”；
（2）“玲珑三角形”中，a²+b²+c²是一个完全平方数．

难度：中等

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4．已知正数a，b，c满足
a+b+c=32
a+b-c
ab
+
a+c-b
ac
+
b+c-a
bc
=
1
4
，试问：以
a
，
b
，
c
为边能否组成三角形？如果能，请求出这个三角形的最大角的度数；如果不能，请说明理由．

难度：中等

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5．如图，已知锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H，BC=a，AC=b，AB=c．求证：AH•AD+BH•BE+CH•CF=
1
2
（a²+b²+c²）．

难度：中等

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6．在△ABC中，已知三边长分别为a、b、c，且∠C=2∠A=4∠B，求证：
1
a
+
1
c
=
1
b
．

难度：中等

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7．不等边三角形的三边长均为正数，其周长是28，且最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，则这样的三角形共有几个？

难度：中等

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8．如果斜边为
2009
的直角三角形的两直角边为自然数，则称此三角形为完美三角形，是否存在完美三角形？如果存在，请求出；如果不存在，请证明．

难度：中等

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9．假设三边长、周长、面积都为整数的三角形叫做“整数三角形”，请写出所有周长为32的“钝角整数三角形”，分别列出它的三边长．

难度：中等

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10．已知在△ABC中，E、F分别为AB、AC边上的点，且BE=CF，试证明：EF＜BC．

难度：中等

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