对于\(0\),\(1\)以及真分数\(p\),\(q\),\(r\),若\(p < q < r\),我们称\(q\)为\(p\)和\(r\)的中间分数\(.\)为了帮助我们找中间分数,制作了下表:两个不等的正分数有无数多个中间分数\(.\)例如:表中第\(③\)行中的\(3\)个分数\(\dfrac{1}{3}\)、\(\dfrac{1}{2}\)、\(\dfrac{2}{3}\),有\(\dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2} < \dfrac{2}{3}\),所以\(\dfrac{1}{2}\)为\(\dfrac{1}{3}\)和\(\dfrac{2}{3}\)的一个中间分数,在表中还可以找到\(\dfrac{1}{3}\)和\(\dfrac{2}{3}\)的中间分数\(\dfrac{2}{5}\),\(\dfrac{3}{7}\),\(\dfrac{4}{7}\),\(\dfrac{3}{5}.\)把这个表一直写下去,可以找到\(\dfrac{1}{3}\)和\(\dfrac{2}{3}\)更多的中间分数.
\((1)\)按上表的排列规律,完成下面的填空:
\(①\)上表中括号内应填的数为_____________;
\(②\)如果把上面的表一直写下去,那么表中第一个出现的\(\dfrac{3}{5}\)和\(\dfrac{2}{3}\)的中间分数是_________;
\((2)\)写出分数\(\dfrac{a}{b}\)和\(\dfrac{c}{d}(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)均为正整数,\(\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}\),\(c < d)\)的一个中间分数\((\)用含\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)的式子表示\()\),并证明;
\((3)\)若\(\dfrac{s}{m}\)与\(\dfrac{t}{n}(m\)、\(n\)、\(s\)、 \(t\)均为正整数\()\)都是\(\dfrac{9}{17}\)和\(\dfrac{8}{15}\)的中间分数,则\(mn\)的最小值为___________.