对于\(0\)，\(1\)以及真分数\(p\)，\(q\)，\(r\)，若\(p < q < r\)，我们称\(q\)为\(p\)和\(r\)的中间分数\(.\)为了帮助我们找中间分数，制作了下表：两个不等的正分数有无数多个中间分数\(.\)例如：表中第\(③\)行中的\(3\)个分数\(\dfrac{1}{3}\)、\(\dfrac{1}{2}\)、\(\dfrac{2}{3}\)，有\(\dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2} < \dfrac{2}{3}\)，所以\(\dfrac{1}{2}\)为\(\dfrac{1}{3}\)和\(\dfrac{2}{3}\)的一个中间分数，在表中还可以找到\(\dfrac{1}{3}\)和\(\dfrac{2}{3}\)的中间分数\(\dfrac{2}{5}\)，\(\dfrac{3}{7}\)，\(\dfrac{4}{7}\)，\(\dfrac{3}{5}.\)把这个表一直写下去，可以找到\(\dfrac{1}{3}\)和\(\dfrac{2}{3}\)更多的中间分数．

\((1)\)按上表的排列规律，完成下面的填空：

\(①\)上表中括号内应填的数为_____________；

\(②\)如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的\(\dfrac{3}{5}\)和\(\dfrac{2}{3}\)的中间分数是_________；

\((2)\)写出分数\(\dfrac{a}{b}\)和\(\dfrac{c}{d}(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)均为正整数，\(\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}\)，\(c < d)\)的一个中间分数\((\)用含\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)的式子表示\()\)，并证明；

\((3)\)若\(\dfrac{s}{m}\)与\(\dfrac{t}{n}(m\)、\(n\)、\(s\)、 \(t\)均为正整数\()\)都是\(\dfrac{9}{17}\)和\(\dfrac{8}{15}\)的中间分数，则\(mn\)的最小值为___________．

如：\( \dfrac{8}{3} \) \(=\)\( \dfrac{6+2}{3} \)\(=2+\)\( \dfrac{2}{3} \)\(=2\)\( \dfrac{2}{3} \)

我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．

如\( \dfrac{x-1}{x+1} \)，\( \dfrac{{x}^{2}}{x-1} \)这样的分式就是假分式；再如：\( \dfrac{3}{x+1} \)，\( \dfrac{2x}{{x}^{2}+1} \)这样的分式就是真分式\(.\)类似的，假分式也可以化为带分式\((\)即：整式与真分式的和的形式\()\)．

如：\( \dfrac{x-1}{x+1}= \dfrac{\left(x+1\right)-2}{x+1}=1- \dfrac{2}{x+1} \)；

再如：\( \dfrac{{x}^{2}}{x-1}= \dfrac{{x}^{2}-1+1}{x-1}= \dfrac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)+1}{x-1} =x+1+ \dfrac{1}{x-1} \)

解决下列问题：

\((1)\)分式\( \dfrac{2}{x} \)是__分式\((\)填“真”或“假”\()\)；

\((2)\)将假分式\( \dfrac{x-1}{x+2} \)化为带分式的形式为__；

\((3)\)把分式\( \dfrac{2x-1}{x+1} \)化为带分式；如果\( \dfrac{2x-1}{x+1} \)的值为整数，求\(x\)的整数值．