知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．按要求解方程
（1）2(x+1)2-
9
2
=0（直接开平方法）
（2）4x-1=2x²（配方法）
（3）x2-4
3
x+10=0（公式法）
（4）分解因式法（提公因式；平方差、完全平方公式；十字相乘）
    ①4x（2x+1）=3（2x+1）
    ②（x+1）²=（2x-1）²
    ③x²-2x-3=0
（5）换元法
    ①（2x+1）²-3（2x+1）-28=0
    ②x2+
1
x2
-2(x+
1
x
)-1=0．

难度：中等

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2．阅读材料，解答问题．
解方程：（4x-1）²-10（4x-1）+24=0
解：把4x-1视为一个整体，设4x-1=y，
则原方程可化为：y²-10y+24=0
解得：y₁=6，y₂=4
∴4x-1=6 或4x-1=4
∴x₁=
7
4
，x₂=
5
4

以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照上例，请用换元法解答问题：
已知（x²+y²+1）（x²+y²-3）=5，求x²+y²的值．

难度：中等

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3．用规定的方法解方程
（1）2x²-7x+1=0（配方法）
（2）x²-
12
x2-2x
=2x-1（换元法）

难度：较难

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4．阅读下面的材料，解答问题：为解方（x²-1）²-5（x²-1）+6=0．我们可以将（x²-1）看作一个整体，然后x²-1=y，那么原方程可化为y²-5y+6=0，解得y₁=2，y₂=3．
当y=2时，x²-1=2，x²=3，x=±
3
；
当y=3时，x²-1=3，x²=4，x=±2．
当原方程的解为x₁=
3
，x₂=-
3
，x₃=2，x₄=-2．
上述解题方法叫做“换元法”；请利用“换元法”解方程．（x²+x）²-4（x²+x）-12=0．

难度：中等

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5．用适当的方法解方程：
①4x²-25=0
②（x²-x）²-5（x²-x）+6=0．

难度：中等

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6．利用换元法解下列方程
（1）（x²-2x）²+（x²-2x）-2=0；
（2）（2-3x）+（3x-2）²=0．

难度：中等

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7．阅读材料：解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0过程：
设x²-1=y，则原方程可化为y²-5y+4=0，解得y₁=1，y₂=4．
当y=1时，x²-1=1，解得x=±
2
；当y=4时，x²-1=4，解得x=±
5
．
故原方程的解为x₁=
2
，  x2=-
2
，  x3=
5
，  x4=-
5
．
由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
解答下列问题：
（1）利用换元法解方程：（x²+x）²+2（x²+x）-8=0；
（2）Rt△ABC的三边是a，b，c，其中斜边c=4，两直角边a，b满足（a+b）²-7（a+b）+10=0，求Rt△ABC的周长和面积．

难度：中等

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8．阅读下面的材料：
解方程x⁴-7x²+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x²=y，则x⁴=y²，∴原方程可化为：y²-7y+12=0，解得y₁=3，y₂=4，当y=3时，x²=3，x=±
3
，当y=4时，x²=4，x=±2．∴原方程有四个根是：x₁=
3
，x₂=-
3
，x₃=2，x₄=-2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程：（x²+x）²-5（x²+x）+4=0；
（2）已知实数a，b满足（a²+b²）²-3（a²+b²）-10=0，试求a²+b²的值．

难度：中等

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9．已知（a²+b²-10）（a²+b²）+25=0，且a-b=1，求a+b的值．

难度：中等

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10．解方程：（x-1）²-5|x-1|-6=0．

难度：中等

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