知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．先阅读下面的内容，然后再解答问题．
例：已知m²+2mn+2n²-2n+1=0．求m和n的值．
解：∵m²+2mn+2n²-2n+1=0，
∴m²+2mn+n²+n²-2n+1=0．
∴（m+n）²+（n-1）²=0．
∴
m+n=0
n-1=0
．
解这个方程组，得：
m=-1
n=1
．
解答下面的问题：
（1）如果x²+y²-8x+10y+41=0成立．求（x+y）²⁰¹⁶的值；
（2）已知a，b，c为△ABC的三边长，若a²+b²+c²=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状，并证明．

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2．已知实数a，b，c满足a²+5b²+c²+4（ab-b+c）-2c+5=0，则2a-b+c的值为．

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3．若a²+b²+

=a+b，则ab的值为（　　）

A．1

B．

C．

D．

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4．先化简，再求值：（
2a
b
）²•
b
a-2
-a÷
b
4
，其中实数a、b满足
a2-1
a2+a
+2a²+8b⁴-8ab²=0．

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5．先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
完全平方公式x²±2xy+y²=（x±y）²及（x±y）²的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式2x²+12x-4的最大（小）值时，我们可以这样处理：
解：原式=2（x²+6x-2）
=2（x²+6x+9-9-2）
=2[（x+3）²-11]
=2（x+3）²-22
因为无论x取什么数，都有（x+3）²的值为非负数，所以（x+3）²的最小值为0，此时x=-3，进而2（x+3）²-22的最小值是2×0-22=-22，所以当x=-3时，原多项式的最小值是-22
解决问题：
请根据上面的解题思路，探求
（1）多项式3x²-6x+12的最小值是多少，并写出对应的x的取值．
（2）多项式-x²-2x+8的最大值是多少，并写出对应的x的取值．

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6．若（a+b）²+8a+8b+（ab）²-6ab+25=0，求a²b+ab²的值．

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7．不论x、y取任何实数，x²-4x+9y²+6y+5总是（　　）

A．非负数

B．正数

C．负数

D．非正数

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8．我们知道：对于任何实数x，①∵x²≥0，∴x²+1＞0；②∵(x-
1
3
)2≥0，∴(x-
1
3
)2+
1
2
＞0；模仿上述方法解答：求证：
（1）对于任何实数x，均有：2x²+4x+3＞0；
（2）不论x为何实数，多项式3x²-5x-1的值总大于2x²-4x-7的值．

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9．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax²+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）²+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax²+bx+c的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：x²+11x+24=x2+11x+(
11
2
)2-(
11
2
)2+24
=(x+
11
2
)2-
25
4

=(x+
11
2
+
5
2
)(x+
11
2
-
5
2
)
=（x+8）（x+3）
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将x²+8x-1化成（x+m）²+n的形式；
（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式x²-3x-40进行分解因式的解答过程：

老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：
（3）求证：x，y取任何实数时，多项式x²+y²-2x-4y+16的值总为正数．

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10．阅读材料：如果一个花坛的长，宽分别是m、n，且m、n满足m²-2mn+2n²-4n+4=0，求花坛的面积．
解：∵m²-2mn+2n²-4n+4=0，∴（m²-2mn+n²）+（n²-4n+4）=0
∴（m-n）²+（n-2）²=0，∴（m-n）²=0，（n-2）²=0，∴m=n，n=2．
∴mn=4
根据你的观察和思考，探究下面的问题：
（1）若x²-2xy+5y²+4y+1=0，求xy的值；
（2）若5x²+y²+z²+4xy-2xz=0，求代数式x-y-3z的值；
（3）若△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a²+b²-10a-12b+61=0，求△ABC的周长的最大值．

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