抛物线\(y=a{{x}^{2}}+bx-\sqrt{3}\)分别交\(x\)轴于点\(A(-1,0)\)，\(C(3,0)\)，交\(y\)轴于点\(B\)，抛物线的对称轴与\(x\)轴相交于点\(D.\)  点\(P\)为线段\(OB\)上的点，点\(E\)为线段\(AB\)上的点，且\(PE⊥AB\)．

\((1)\)求抛物线的表达式；

\((2)\)计算\( \dfrac{PE}{PB}\)的值；

\((3)\)请直接写出\( \dfrac{1}{2}PB+PD\)的最小值为_______________．

二次函数的部分图象如图所示，对称轴是\(x=-1\)，则这个二次函数的表达式为

已知\(y\)与\(x\)的函数满足下列条件：\(①\)它的图象经过\((1,1)\)点；\(②\)当\(x > 1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小\(.\)写出一个符合条件的函数：_________．

\((2)\)设抛物线的顶点\(P\)关于原点的对称点为\(P′\)，求点\(P′\)的坐标；

\((3)\)将抛物线在\(A\)，\(B\)两点之间的部分\((\)包括\(A\)，\(B\)两点\()\)，先向下平移 \(3\)个单位，再向左平移\(m(m > 0)\)个单位，平移后的图象记为图象\(G\)，若图象\(G\)与直线\(PP′\) 无交点，求\(m\)的取值范围．

如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为\(10m\)时，桥洞与水面 的最大距离是\(5m\)．

\((1)\)经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案\((\)如下图\()\)，你选择的方案是_____\((\)填方案一，方案二，或方案三\()\)，则\(B\)点坐标是______，求出你所选方案中的抛物线的表达式；

\((2)\)因为上游水库泄洪，水面宽度变为\(6m\)，求水面上涨的高度．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，抛物线\(y=mx^{2}-2mx-3 (m\neq 0)\)与\(y\)轴交于点\(A\)，其对称轴与\(x\)轴交于点\(B\)顶点为\(C\)点．

\((1)\)求点\(A\)和点\(B\)的坐标；

\((2)\)若\(∠ACB=45^{\circ}\)，求此抛物线的表达式；

\((3)\)在\((2)\)的条件下，垂直于\(y\)轴的直线\(l\)与抛物线交于点\(P(x_{1},y_{1})\)和\(Q(x_{2},y_{2})\)，与直线\(AB\)交于点\(N(x_{3},y_{3})\)，若\(x_{3} < x_{1} < x_{2}\)，结合函数的图象，直接写出\(x_{1}+x_{2}+x_{3}\)的取值范围为____________．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，抛物线\(y=nx^{2}-4nx+4n-1(n\neq 0)\)，与\(x\)轴交于点\(C\)，\(D(\)点\(C\)在点\(D\)的左侧\()\)，与\(y\)轴交于点\(A\)．

\((1)\)求抛物线顶点\(M\)的坐标；

\((2)\)若点\(A\)的坐标为\((0,3)\)，\(AB/\!/x\)轴，交抛物线于点\(B\)，求点\(B\)的坐标；

\((3)\)在\((2)\)的条件下，将抛物线在\(B\)，\(C\)两点之间的部分沿\(y\)轴翻折，翻折后的图象记为\(G\)，若直线\(y= \dfrac{1}{2}x+m \)与图象\(G\)有一个交点，结合函数的图象，求\(m\)的取值范围．