知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图1，菱形ABCD中，CH⊥AB，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH=3．

（1）求DM的长；
（2）如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当点P在边AB上运动时，是否存在这样的t的值，使∠MPB与∠BCD互为余角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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2．已知：（1）正方形ABCD中，BD为对角线，把△ABD延AB向右平移至图1的位置，得到△EFG，直线EG、BC交于点H，连AH、CG，则AH与CG有怎样的关系？直接写出你的结论．
（2）当△ABD平移到线段BA的延长线上时（如图2），（1）中的结论是否还成立？说明你的理由．
（3）当正方形ABCD改为矩形ABCD，且AB=nBC（n≠1）时，连对角线AC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EFG，再将它沿直线AB向左平移（如图3），EG和BC交于点H，连AH、CG，问此时AH和CG有怎样的关系？证明出你的结论．

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3．将正方形ABCD和正方形BEFG如图1摆放，连DF．
（1）如图2，将图1中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转90°，连DF，CG相交于点M，则
DF
CG
= ，∠DMC= ；
（2）结合图2，请证明（1）中的结论；
（3）将图2中的正方形BEFG绕点B逆时针旋转β角（0°＜β＜90°）连DF，CG相交于点M，请画出图形，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

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4．（2014•重庆模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=AD=4cm，BC=6cm，点O在BC上，且BO=4cm，连接AO．点E从点A出发，先以每秒2cm的速度沿线段AO运动，到达点O后，再以每秒1cm的速度沿线段OC运动，到达点C立即停止运动；在点E运动的每一个时刻，过点E作BC的垂线EF交直线AD于F，以线段EF为边长向右作正方形EFGH，点G在直线AD上．设点E的运动时间为t秒．
（1）求点H恰好落在线段CD上时t的值；
（2）当点E在AO上运动时，是否存在这样的t，使得△EBC为等腰三角形？若存在，求出对应的t值；若不存在，请说明理由；
（3）设正方形EFGH与梯形ABCD重叠部分的面积为Scm²，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

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5．在数学的学习中，我们要学会总结，不断地归纳，思考和运用，这样才能提高我们解决问题的能力，下面这个问题大家一定似曾相识：
（1）比较大小：①2+3    2
2×3
；②3+
1
4
    2
3×
1
4
；③8+8     2
8×8
；
（2）通过上面三个计算，我们可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想：a+b    2
ab
；
（3）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上的中线，AD=2a，DB=2b，试根据图形证明上述不等式a+b    2
ab
，并指出等号成立的条件．
（4）探索应用：如图2有一个等腰梯形工件（厚度不计），其面积为7200cm²，现在要用细包装带如图那样包扎（虚线表示包装带，四点为四边中点），则至少需要包装带的长度为    cm．

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6．在一个五边形ABCDE中，∠BAE=∠B=∠BCD=90°，AB=9cm，BC=12cm，CD=1cm，DE=10cm，动点P从点A出发，以 4cm/s的速度沿A-B-C的方向向点C作匀速运动，与此同时，动点Q也从点A出发，以3cm/s的速度沿A-E-D的方向向点D作匀速运动，当P、Q中有一个点到达目的地时，整个运动停止．设运动时间为t秒：
（1）当0＜t＜2时，试说明PQ⊥AC；
（2）当t＞2时，问：是否存在这样的t，使得PQ⊥AC？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

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7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，sinB=
3
5
．点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接DE、DF，动点P，Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿A→F→D的方向运动到点D停止；点Q沿BC的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN．设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y（cm²），点P运动的时间为t（s）．
（1）当点P运动到点F时，MQ= cm；
（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度；
（3）是否存在某一时间t，使平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分是平行四边形且面积为
15
2
？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

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8．（2013•汉川市模拟）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=
5
，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为
2
；③EB⊥ED；④S_△APD+S_△APB=
1+
6
2
．其中正确结论的序号是．

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9．如图1，直角梯形ABCD中，BC=CD，AB∥CD，∠ABC=90°，点P为边AD上一点，BC=PB．
（1）求证：∠CBP=2∠DCP；
（2）如图2，若∠ABP的平分线交CP的延长线于点E，连接DE，求证：BE+DE=
2
CE；
（3）在（2）的条件下，若AB=1，BC=2，请直接写出线段CE的长为．

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10．（1）如图1，四边形ABEC是正方形，点D为△ABC内一点，且BD=AB，CD=AD，求∠CBD的度数和∠CBD与∠DBA的度数比值．
（2）如图2，若把（1）中的△ABC变为一般的三角形（∠BAC≠90°，AC≠AB），但D依然是△ABC内一点，且满足∠BAC=2∠BCA，BD=AB，CD=AD，此时∠CBD与∠DBA的度数比值是否与（1）中的相同，写出你猜想的结论并加以证明．

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