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            • 1． 在课外活动中，我们要研究一种四边形--筝形的性质．
              定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）．
              小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．
              下面是小聪的探究过程，请补充完整：
              （1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是    ；
              （2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；
              （3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．
              难度：较难
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            • 2． 阅读材料，回答问题：
              （1）中国古代数学著作图1《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”．上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：    ．
              （2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：
              证明：∵S△ABC=
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              ab              ，S正方形ABCD=c2，
              S正方形MNPQ=    ．
              又∵    =    ，
              ∴（a+b）2=4×
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              2
              ab+c2              ，
              整理得a2+2ab+b2=2ab+c2，
              ∴    ．
              （3）如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB=4，BC=8，求BE的长．
              难度：较难
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            • 3． （1）如图1所示，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，请填空：
              AO
              DC
              =    （直接写出答案）；
              （2）如图2所示，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO1C1，连接AO1，DC1，请你猜想线段AO1与DC1之间的数量关系，并证明之；
              （3）如图3所示，矩形ABCD和Rt△BEF有公共顶点B，且∠BEF=90°，∠EBF=∠ABD=30°，则
              AE
              DF
              的值是否为定值？若是定值，请求出该值；若不是定值，请简述理由．
              难度：较难
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            • 4． （2016•宜春模拟）如图，在▱ABCD中，AB=7，BC=5，sinB=
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              ，将▱ABCD折叠，使点A落在点C上，点D的对应点为H，折痕为EF．
              （1）点P是EF上一个动点，则△APD周长的最小值是    ；
              （2）求证：△BCE≌△HCF；
              （3）求△CEF的面积．
              难度：较难
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            • 5． （1）探索发现：如图1所示，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
              填空：①∠ECF为    度；②线段CE、CF之间的数量关系是    ．
              （2）猜想论证：如图2所示，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．若G在AD上，且∠GCE=45°，请判断线段BE、EG、GD之间的数量关系，并说明理由．
              （3）解决问题：运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
              如图3所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=18cm，E是AB上一点，当∠DCE=45°时，BE=6cm，请直接写出DE的长度．
              难度：较难
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            • 6． 阅读与证明：
              如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，且∠EAF=45°，
              求证：BF+DE=EF．
              分析：证明一条线段等于另两条线段的和，常用“截长法”或“补短法”，将线段BF、DE放在同一直线上，构造出一条与BF+DE相等的线段．如图1延长ED至点F′，使DF′=BF，连接A F′，易证△ABF≌△ADF′，进一步证明△AEF≌△AEF′，即可得结论．
              （1）请你将下面的证明过程补充完整．
              证明：延长ED至F′，使DF′=BF．
              应用与拓展：
              建立如图平面直角坐标系，使顶点A与坐标原点O重合，边OB、OD分别在x轴、y轴正半轴上．
              （2）设正方形边长OB为30，当E为CD中点时，试问F为BC的几等分点？并求此时F点的坐标；
              （3）设正方形边长OB为30，当EF最短时，求直线EF的解析式．
              难度：较难
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            • 7． 已知正方形ABCD，点E在直线AD上（不与点A、D重合），连接BE，做EF⊥BE，且EF=BE，过点F作FG⊥BC，交直线BC于点G．
              （1）当点E在边AD上，点G在边BC的延长线上时，如图1，求证：AB+AE=BG；
              （2）当点E在边DA的延长线上，点G在边BC上时，如图2，试猜想AB、AE与BG的关系，并加以证明；
              （3）当点E在边AD的延长线上，点G在边BC上时，如图3，请直接写出线段AB，AE，BG之间的数量关系，不需要证明．
              难度：较难
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            • 8． （2015春•仙游县期中）已知，如图在矩形ABCD中，N，M分别是边AB，CD的中点，E、F分别是线段AM、BM的中点；
              （1）求证：△AMD≌△BMC；
              （2）判断：四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
              （3）当AB﹕BC=    时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）
              难度：较难
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            • 9． （2013•包河区一模）如图，边长为1的正方形ABCD中，P为对角线AC上的任意一点，分别连接PB、PD，
              PE⊥PB，交CD与E．
              （1）求证：PE=PD；
              （2）当E为CD的中点时，求AP的长；
              （3）设AP=x（0＜x＜
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              ），四边形BPEC的面积为y，求证：y=
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              （
              		2
              -x）2．
              难度：较难
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            • 10． 如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=
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              BD；③BN+DQ=NQ；④
              AB+BN
              BM
              为定值．其中一定成立的是    ．
              难度：较难
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