知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
已知，等边三角形\(ABC\)的边长为\(5\)，点\(P\)在线段\(AB\)上，点\(D\)在线段\(BC\)上，且\(\triangle PDE\)是等边三角形．
\((1)\)初步尝试：若点\(P\)与点\(A\)重合时\((\)如图\(1)\)，\(BD+BE=\)______．
\((2)\)类比探究：将点\(P\)沿\(AB\)方向移动，使\(AP=1\)，其余条件不变\((\)如图\(2)\)，试计算\(BD+BE\)的值是多少？
\((3)\)拓展迁移：如图\(3\)，在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，\(∠BAC=70^{\circ}\)，点\(P\)在线段\(AB\)的延长线上，点\(D\)在线段\(CB\)的延长线上，在\(\triangle PDE\)中，\(PD=PE\)，\(∠DPE=70^{\circ}\)，设\(BP=a\)，请直接写出线段\(BD\)、\(BE\)之间的数量关系\((\)用含\(a\)的式子表示\()\)

难度：难

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3．
我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为\(20\)尺，底面周长为\(3\)尺，有葛藤自点\(A\)处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点\(B\)处，则问题中葛藤的最短长度是 ______ 尺\(.\)

难度：难

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4．
已知：\(\triangle ABC\)是等腰直角三角形，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(AB=4 \sqrt {2}\)，将\(AC\)边所在直线向右平移，所得直线\(MN\)与\(BC\)边的延长线相交于点\(M\)，点\(D\)在\(AC\)边上，\(CD=CM\)，过点\(D\)的直线平分\(∠BDC\)，与\(BC\)交于点\(E\)，与直线\(MN\)交于点\(N\)，联接\(AM\)．

\((1)\)若\(CM= \sqrt {3}\)，则\(AM=\) ______ ；
\((2)\)如图\(1\)，若点\(E\)是\(BM\)的中点，求证：\(MN=AM\)；
\((3)\)如图\(2\)，若点\(N\)落在\(BA\)的延长线上，求\(AM\)的长．

难度：中等

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5．
如图，圆柱形容器高为\(18cm\)，底面周长为\(24cm\)，在杯内壁离杯底\(4cm\)的点\(B\)处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿\(2cm\)与蜂蜜相对的点\(A\)处，则蚂蚁从外壁\(A\)处到达内壁\(B\)处的最短距离为 ______ \(cm\)．

难度：中等

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6．
问题背景：如图\(1\)，等腰\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，\(∠BAC=120^{\circ}\)，作\(AD⊥BC\)于点\(D\)，则\(D\)为\(BC\)的中点，\(∠BAD= \dfrac {1}{2}∠BAC=60^{\circ}\)，于是\( \dfrac {BC}{AB}= \dfrac {2BD}{AB}= \sqrt {3}\)；
迁移应用：如图\(2\)，\(\triangle ABC\)和\(\triangle ADE\)都是等腰三角形，\(∠BAC=∠DAE=120^{\circ}\)，\(D\)，\(E\)，\(C\)三点在同一条直线上，连接\(BD\)．
\(①\)求证：\(\triangle ADB\)≌\(\triangle AEC\)；
\(②\)请直接写出线段\(AD\)，\(BD\)，\(CD\)之间的等量关系式；
拓展延伸：如图\(3\)，在菱形\(ABCD\)中，\(∠ABC=120^{\circ}\)，在\(∠ABC\)内作射线\(BM\)，作点\(C\)关于\(BM\)的对称点\(E\)，连接\(AE\)并延长交\(BM\)于点\(F\)，连接\(CE\)，\(CF\)．
\(①\)证明\(\triangle CEF\)是等边三角形；
\(②\)若\(AE=5\)，\(CE=2\)，求\(BF\)的长．

难度：较易

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7．
如图，已知\(\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(AC=1\)，\(BC=2\)，\(CD\)平分\(∠ACB\)交边\(AB\)与点\(D\)，\(P\)是射线\(CD\)上一点，联结\(AP\)．
\((1)\)求线段\(CD\)的长；
\((2)\)当点\(P\)在\(CD\)的延长线上，且\(∠PAB=45^{\circ}\)时，求\(CP\)的长；
\((3)\)记点\(M\)为边\(AB\)的中点，联结\(CM\)、\(PM\)，若\(\triangle CMP\)是等腰三角形，求\(CP\)的长．

难度：中等

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8．
如图，已知\(\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(AC=15\)，\(BC=20.\)动点\(P\)在线段\(CB\)上，以\(1cm/s\)的速度从点\(C\)向\(B\)运动，连接\(AP\)，作\(CE⊥AB\)分别交\(AP\)、\(AB\)于点\(F\)、\(E\)，过点\(P\)作\(PD⊥AP\)交\(AB\)于点\(D\)．
\((1)\)线段\(CE=\) ______ ；
\((2)\)若\(t=5\)时，求证：\(\triangle BPD\)≌\(\triangle ACF\)；
\((3)t\)为何值时，\(\triangle PDB\)是等腰三角形；
\((4)\)求\(D\)点经过的路径长．

难度：中等

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9．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
特例探索
（1）①如图1，当∠ABE=45°，c=2
2
时，a= ，b= ；
②如图2，当∠ABE=30°，c=4时，求a和b的值
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．

难度：中等

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