知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，等边\(\triangle ABC\)的边长为\(8\)，\(D\)、\(E\)两点分别从顶点\(B\)、\(C\)出发，沿边\(BC\)、\(CA\)以\(1\)个单位\(/s\)、\(2\)个单位\(/s\)的速度向顶点\(C\)、\(A\)运动，\(DE\)的垂直平分线交\(BC\)边于\(F\)点，若某时刻\(\tan ∠CDE= \dfrac { \sqrt {3}}{2}\) 时，则线段\(CF\)的长度为 ______ ．

难度：难

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2．如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，\(AB=25cm\)，\(AC=20cm\)，点\(P\)从点\(A\)出发，沿\(AB\)的方向匀速运动，速度为\(5cm/s\)；同时点\(M\)由点\(C\)出发，沿\(CA\)的方向匀速运动，速度为\(4cm/s\)，过点\(M\)作\(MN\:/\!/AB\)交\(BC\)于点\(N.\)设运动时间为\(ts(0 < t < 5)\)．
\((1)\)用含\(t\)的代数式表示线段\(MN\)的长；
\((2)\)连接\(PN\)，是否存在某一时刻\(t\)，使\(S_{四边形AMNP}=48\)？若存在，求出\(t\)的值；若不存在，请说明理由；
\((3)\)连接\(PM\)、\(PN\)，是否存在某一时刻\(t\)，使点\(P\)在线段\(MN\)的垂直平分线上？若存在，求出此时\(t\)的值；若不存在，请说明理由．

难度：难

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3．如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P．连接PB、PC，若∠A=70°，则∠PBC的度数是 ______ ．

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4．如图，在△ABE中，∠BAE=108°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB=CE，则∠B的度数是 ______ ．

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5．

如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于G．下列结论：①AD垂直平分EF；②EF垂直平分AD；③AD平分∠EDF；④当∠BAC为60°时，AG=3DG，其中不正确的结论的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

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6．已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
①求证：BE=CF；
②若AF=5，BC=6，求△ABC的周长．

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7．已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为 ______ ．

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8．
已知，矩形\(ABCD\)中，\(AB=4cm\)，\(BC=8cm\)，\(AC\)的垂直平分线\(EF\)分别交\(AD\)、\(BC\)于点\(E\)、\(F\)，垂足为\(O\)．
\((1)\)如图\(1\)，连接\(AF\)、\(CE.\)求证四边形\(AFCE\)为菱形，并求\(AF\)的长；
\((2)\)如图\(2\)，动点\(P\)、\(Q\)分别从\(A\)、\(C\)两点同时出发，沿\(\triangle AFB\)和\(\triangle CDE\)各边匀速运动一周\(.\)即点\(P\)自\(A→F→B→A\)停止，点\(Q\)自\(C→D→E→C\)停止\(.\)在运动过程中，
\(①\)已知点\(P\)的速度为每秒\(5cm\)，点\(Q\)的速度为每秒\(4cm\)，运动时间为\(t\)秒，当\(A\)、\(C\)、\(P\)、\(Q\)四点为顶点的四边形是平行四边形时，求\(t\)的值．
\(②\)若点\(P\)、\(Q\)的运动路程分别为\(a\)、\(b(\)单位：\(cm\)，\(ab\neq 0)\)，已知\(A\)、\(C\)、\(P\)、\(Q\)四点为顶点的四边形是平行四边形，求\(a\)与\(b\)满足的数量关系式．

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9．

【回归课本】我们曾学习过这样的基本事实：\(①\)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；\(②\)同弧所对的圆周角相等．

【初步体验】如图，已知\(\triangle \)\(ABC\)，用没有刻度的直尺和圆规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注．

\((1)\)在图\(①\)中 \(AC\)边上找点 \(D\)，使 \(DB\)\(+\) \(DC\)\(=\) \(AC\)；

\((2)\)在图\(②\)中作\(\triangle \)\(BCE\)，使\(∠\)\(BCE\)\(=∠\)\(BAC\)，\(CE\)\(=\)\(BE\)．
【深入探究】小明运用上述基本事实解决了下面一个问题：
\((3)\)如图\(③\)，已知线段 \(a\)和等边\(\triangle \) \(ABC\)，作\(\triangle \) \(BCM\)，使\(∠\) \(BMC\)\(=∠\) \(BAC\)， \(BM\)\(+\) \(CM\)\(=\) \(a\)．

他的做法是；\(1\)画\(\triangle \)\(ABC\)的外接圆；\(2\)以\(A\)为圆心、\(AB\)长为半径画\(⊙\)\(A\)；\(3\)以\(C\)为圆心、\(a\)为半径画弧与\(⊙\)\(A\)交于点\(F\)；\(4\)连接\(CF\)与\(\triangle \)\(ABC\)的外接圆交于点\(M\)，则\(\triangle \)\(BCM\)是要画的三角形\(.\)请你给出证明，并直接写出这样的点\(M\)有个\(.\)

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10．
已知：如图，平行四边形\(ABCD\)在平面直角坐标系中，\(AD=6.OA\)、\(OB\)的长是关于\(x\) 的方程\({{x}^{2}}-7x+12=0\)的两个根，且\(OA > OB\)．

\((1)\)求\(AB\)的值；\((2)\)若\(E\)是\(x\)轴上的一点，且\(S\triangle AOE=\dfrac{16}{3}\)，求经过\(D\)、\(E\)两点的直线的解析式；
\((3)\)点\(M\)在平面直角坐标系中，点\(F\)在直线\(AB\)上，如果以\(A\)、\(C\)、\(F\)、\(M\)为顶点的四边形为菱形，请求出\(F\)点坐标．

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