如图，在\(\triangle ABC\)中，\(∠A=90^{\circ}\)，\(AB=AC\)，点\(D\)是\(BC\)上任意一点，将线段\(AD\)绕点\(A\)逆时针方向旋转\(90^{\circ}\)，得到线段\(AE\)，连结\(EC\)．

\((1)\)依题意补全图形；

\((2)\)求\(∠ECD\)的度数；

\((3)\)若\(∠CAE=7.5^{\circ}\)，\(AD=1\)，将射线\(DA\)绕点\(D\)顺时针旋转\(60^{\circ}\)交\(EC\)的延长线于点\(F\)，请写出求\(AF\)长的思路．

如图，已知\(Rt\Delta ABC\)中，\(\angle ACB=90{}^\circ \)，\(AC=BC\)，\(D\)是线段\(AB\)上的一点\((\)不与\(A\)、\(B\)重合\().\) 过点\(B\)作\(BE⊥CD\)，垂足为\(E.\)将线段\(CE\)绕点\(C\)顺时针旋转\(90{}^\circ \)，得到线段\(CF\)，连结\(EF.\)设\(\angle BCE\)度数为\(\alpha \)．

\((1)①\)补全图形\(.\)      \(②\)试用含\(\alpha \)的代数式表示\(\angle CDA\)．

\((2)\)若\(\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ，求\(\alpha \)的大小．

\((3)\)直接写出线段\(AB\)、\(BE\)、\(CF\)之间的数量关系．

我们给出如下定义：两个图形\(G_{1}\)和\(G_{2}\)，在\(G_{1}\)上的任意一点\(P\)引出两条垂直的射线与\(G_{2}\)相交于点\(M\)、\(N\)，如果\(PM=PN\)，我们就称\(M\)、\(N\)为点\(P\)的垂等点，\(PM\)、\(PN\)为点\(P\)的垂等线段，点\(P\)为垂等射点．

\((1)\)如图\(1\)，在平面直角坐标系\(xOy\)中，点\(P(1,0)\)为\(x\)轴上的垂等射点，过\(A(0,3)\)作\(x\)轴的平行线\(l\)，则直线\(l\)上的\(B(-2,3)\)， \(C(-1,3)\)，\(D(3,3)\)，\(E(4,3)\)为点\(P\)的垂等点的是________________________；

\((2)\)如果一次函数图象过\(M(0,3)\)，点\(M\)为垂等射点\(P(1,0)\)的一个垂等点且另一个垂等点\(N\)也在此一次函数图象上，在图\(2\)中画出示意图并写出一次函数表达式；

\((3)\)如图\(3\)，以点\(O\)为圆心，\(1\)为半径作\(⊙O\)，垂等射点\(P\)在\(⊙O\)上，垂等点在经过\((3,0)\)，\((0,3)\)的直线上，如果关于点\(P\)的垂等线段始终存在，求垂等线段\(PM\)长的取值范围\((\)画出图形直接写出答案即可\()\)．

如图，在正方形\(ABCD\)中，\(E\)是\(BC\)边上一点，连接\(AE\)，延长\(CB\)至点\(F\)，使\(BF=BE\)，过点\(F\)作\(FH⊥AE\)于点\(H\)，射线\(FH\)分别交\(AB\)、\(CD\)于点\(M\)、\(N\)，交对角线\(AC\)于点\(P\)，连接\(AF\)．

\((1)\)依题意补全图形；

\((2)\)求证：\(∠FAC=∠APF\)；

\((3)\)判断线段\(FM\)与\(PN\)的数量关系，并加以证明．

在\(Rt\triangle ABC\)中， \(∠ACB=90^{\circ}\)，\(CD\)是\(AB\)边的中线，\(DE⊥BC\)于\(E\)， 连结\(CD\)，点\(P\)在射线\(CB\)上\((\)与\(B\)，\(C\)不重合\()\)．

\(①\)如图\(1\)，\(∠DCB= \)_________\({\,\!}^{\circ}\)

\(②\)如图\(2\)，点\(P\)在线段\(CB\)上，连结\(DP\)，将线段\(DP\)绕点\(D\)逆时针旋转\(60^{\circ}\)，得到线段\(DF\)，连结\(BF\)，补全图\(2\)猜想\(CP\)、\(BF\)之间的数量关系，并证明你的结论；

\(( 2 )\)如图\(3\)，若点\(P\)在线段\(CB\) 的延长线上，且\(∠A=\alpha \) \((0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ})\) ，连结\(DP\)， 将线段\(DP\)绕点逆时针旋转\(2\alpha \)得到线段\(DF\)，连结\(BF\)， 请直接写出\(DE\)、\(BF\)、\(BP\)三者的数量关系\((\)不需证明\()\)．

如图，在等边三角形\(ABC\)中，\(CD\)为中线，点\(Q\)在线段\(CD\)上运动，将线段\(QA\)绕点\(Q\)顺时针旋转，使得点\(A\)的对应点\(E\)落在射线\(BC\)上，连接\(BQ\)，设\(∠DAQ=α(0^{\circ} < α < 60^{\circ}\)且\(α\neq 30^{\circ})\)．

\((2)\)当\(30^{\circ} < α < 60^{\circ}\)时，直接写出线段\(CE\)，\(AC\)，\(CQ\)之间的数量关系．