如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(AC=2BC\)，点\(D\)在边\(AC\)上，连接\(BD\)，过点\(A\)作\(BD\)的垂线交\(BD\)的延长线于点\(E\)．

\((1)\) 若\(M\)、\(N\)分别为线段\(AB\)、\(EC\)的中点，如图\(1\)，求证：\(MN⊥EC\)；

\((2)\) 如图\(2\)，过点\(C\)作\(CF⊥EC\)交\(BD\)于点\(F\)，求证：\(AE=2BF\)；

\((3)\) 如图\(3\)，在\((2)\)的条件下，若在\(BE\)的延长线上取点\(P\)， 使\(∠EAP=∠BAC\)，求证：\(PE=BF\)。

已知：\(l\)\(/\!/\)\(m\)\(/\!/\)\(n\)\(/\!/\)\(k\)，平行线\(l\)与\(m\)、\(m\)与\(n\)、\(n\)与\(k\)之间的距离分别为\(d_{1}\)、\(d_{2}\)、\(d_{3}\)，且\(d_{1}\)\(=\)\(d_{3}\) \(= 1\)，\(d_{2}\) \(= 2 .\) 我们把四个顶点分别在\(l\)、\(m\)、\(n\)、\(k\)这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．

【探究\(1\)】\(⑴\)如图\(1\)，正方形\(ABCD\)为“格线四边形”，\(BE\bot l\)于点\(E\)，\(BE\)的反向延长线交直线\(k\)于点\(F\)\(.\) 求正方形\(ABCD\)的边长．

【探究\(2\)】\(⑵\)矩形\(ABCD\)为“格线四边形”，其长：宽 \(= 2\) ：\(1\) ，则矩形\(ABCD\)的宽为 \(.(\)直接写出结果即可\()\)

【探究\(3\)】\(⑶\) 如图\(2\)，菱形\(ABCD\)为“格线四边形”且\(∠\)\(ADC\)\(=60^{\circ}\)，\(\triangle \)\(AEF\)是等边三角形，\(AE\bot k\) 于点\(E\)， \(∠\)\(AFD\)\(=90^{\circ}\)，直线\(DF\)分别交直线\(l\)、\(k\)于点\(G\)、\(M\)\(.\) 求证：\(EC=DF\)．

【拓 展】\(⑷\) 如图\(3\)，\(l\)\(/\!/\)\(k\)，等边三角形\(ABC\)的顶点\(A\)、\(B\)分别落在直线\(l\)、\(k\)上，\(AB\bot k\)于点\(B\)， 且\(AB\)\(=4\) ，\(∠\)\(ACD\)\(=90^{\circ}\)，直线\(CD\)分别交直线\(l\)、\(k\)于点\(G\)、\(M\)，点\(D\)、\(E\)分别是线段\(GM\)、\(BM\)上的动点，且始终保持\(AD\)\(=\)\(AE\)，\(DH\bot l\)于点\(H\)\(.\)猜想：\(DH\)在什么范围内，\(BC\)\(/\!/\)\(DE\)？并说明此时\(BC\)\(/\!/\)\(DE\)的理由．

如图，在\(\triangle ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，\(AC=BC=2\)，点\(D\)，\(E\)分别在边\(BC\)，\(AB\)上，连接\(AD\)，\(ED\)，且\(∠BDE=∠ADC.\)过\(E\)作\(EF⊥AD\)交边\(AC\)于点\(F\)，连接\(DF\)．

\((1)\)求证：\(∠AEF=∠BED\)；

\((2)\)过\(A\)作\(AG/\!/ED\)交\(BC\)的延长线于点\(G\)，设\(CD=x\)，\(CF=y\)，求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式；

\((3)\)当\(\triangle DEF\)是以\(DE\)为腰的等腰三角形时，求\(CD\)的长．

如图，在\(Rt\)\(\triangle \)\(ABC\)中，\(∠\)\(C\)\(=90^{\circ}\)，\(AB\)\(=12\)，点\(P\)为斜边\(AB\)上的一个三等分点，过点\(P\)作\(PM\)\(⊥\)\(AC\)于\(M\)，\(PN\)\(⊥\)\(BC\)于\(N\)，若四边形\(MPNC\)为正方形，则在\(Rt\)\(\triangle \)\(ABC\)中挖掉正方形\(MPNC\)后，剩余图形面积为                         

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