知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
发现任意五个连续整数的平方和是\(5\)的倍数．
验证 \((1)(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}\)的结果是\(5\)的几倍？
\((2)\)设五个连续整数的中间一个为\(n\)，写出它们的平方和，并说明是\(5\)的倍数．
延伸任意三个连续整数的平方和被\(3\)除的余数是几呢？请写出理由．

难度：较易

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2．

下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是\((\)　　\()\)

A．\((x+1)(x-1)=x^{2}-1\)

B．\(x^{2}-4x+4=x(x-4)+4\)

C．\((x+3)(x-4)=x^{2}-x-12\)

D．\(x^{4}-16=(x^{2}+4)(x+2)(x-2)\)

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3．
阅读材料：把代数式\(x^{2}-6x-7\)因式分解，可以如下分解：
\(x^{2}-6x-7\)
\(=x^{2}-6x+9-9-7\)
\(=(x-3)^{2}-16\)
\(=(x-3+4)(x-3-4)\)
\(=(x+1)(x-7)\)
\((1)\)探究：请你仿照上面的方法，把代数式\(x^{2}-8x+7\)因式分解；
\((2)\)拓展：把代数式\(x^{2}+2xy-3y^{2}\)因式分解：
当\( \dfrac {x}{y}=\) ______ 时，代数式\(x^{2}+2xy-3y^{2}=0\)．

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4．
如图，边长为\(a\)、\(b\)的矩形，它的周长为\(14\)，面积为\(10\)，则\(a^{2}b+ab^{2}\)的值为 ______ ．

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5．

已知\(a−3b=0 \)，求\( \dfrac{a−b}{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}}⋅(a+b) \)的值．

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6．
对任意一个正整数\(m\)，如果\(m=n(n+1)\)，其中\(n\)是正整数，则称\(m\)为“优数”，\(n\)为\(m\)的最优拆分点，例如：\(72=8×(8+1)\)，则\(72\)是一个“优数”，\(8\)为\(72\)的最优拆分点．
\((1)\)请写出一个“优数” ______ ，它的最优拆分点是 ______ ；
\((2)\)求证：若“优数”\(m\)是\(5\)的倍数，则\(m\)一定是\(10\)的倍数；
\((2)\)把“优数”\(p\)的\(2\)倍与“优数”\(q\)的\(3\)倍的差记为\(D(p,q)\)，例如：\(20=4×5\)，\(6=2×3\)，则\(D(20,6)=2×20-3×6=22.\)若“优数”\(p\)的最优拆分点为\(t+4\)，“优数”\(q\)的最优拆分点为\(t\)，当\(D(p,q)=76\)时，求\(t\)的值并判断它是否为“优数”．

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7．
已知正数\(a\)，\(b\)，\(c\)是\(\triangle ABC\)三边的长，而且使等式\(a^{2}-c^{2}+ab-bc=0\)成立，则\(\triangle ABC\)是 ______ 三角形．

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8．
若一个两位正整数\(m\)的个位数为\(8\)，则称\(m\)为“好数”．
\((1)\)求证：对任意“好数”\(m\)，\(m^{2}-64\)一定为\(20\)的倍数；
\((2)\)若\(m=p^{2}-q^{2}\)，且\(p\)，\(q\)为正整数，则称数对\((p,q)\)为“友好数对”，规定：\(H(m)= \dfrac {q}{p}\)，例如\(68=18^{2}-16^{2}\)，称数对\((18,16)\)为“友好数对”，则\(H(68)= \dfrac {16}{18}= \dfrac {8}{9}\)，求小于\(50\)的“好数”中，所有“友好数对”的\(H(m)\)的最大值．

难度：较易

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