知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图①，C为线段BE上的一点，分别以BC和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，M、N分别是线段AF和GD的中点，连接MN
（1）线段MN和GD的数量关系是，位置关系是；
（2）将图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由；
（3）已知BC=7，CE=3，将图①中的正方形CEFG绕点C旋转一周，其他条件不变，直接写出MN的最大值和最小值．

难度：较难

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2．（1）如图1中，△ABC为正三角形，点E为AB边上任一点，以CE为边作正△DEC，连结AD．求
BE
AD
的值．
（2）如图2中，△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，点E为腰AB上任意一点，以CE为斜边作等腰直角△CDE，连结AD．求
BE
AD
的值；
（3）如图3中，△ABC为任意等腰三角形，点E为腰AB上任意一点，以CE为底边作等腰△DEC，使△DEC∽△ABC，并且BC=
n
AC．连结AD，直接写出
BE
AD
的值．

难度：中等

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3．我们把过等腰三角形的底边所在的直线上的点作两腰的垂线及作一腰的高的图形称为“腰垂等腰三角形”，如图①，图②，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC（或BC所在的直线）上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．像这样的图形就称为“腰垂等腰三角形”．
特例探索
（1）如图①，若PD=5，PE=3，则CF= ；如图①，若PD=6，PE=4，则CF= ；
变式探究
（2）如图②，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，猜想PD，PE，CF的数量关系，并给出证明：
拓展应用
（3）图③是一个航模的截面示意图，在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥AB，垂足分别为D，C，且AD•CE=DE•BC，AB=2
13
dm，AD=3dm，BD=
37
dm．点M，N分别为AE，BE的中点，连接DM，CN，求△DEM与△CEN的周长之和．

难度：较难

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4．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，QR=y．
（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）若△PQR是以QR为底边的等腰三角形，求的x值．

难度：较难

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5．如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点点E，连接CD．

（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；
（2）若CD²=DE•DB，求证：DC=BE；
（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD²是否成正比例？若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．

难度：中等

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6．在一个三角形中，若一条边等于另一条边的两倍，则称这种三角形为“倍边三角形”．例如：边长为a=2，b=3，c=4的三角形就是一个倍边三角形．
（1）如果一个倍边三角形的两边长为6和8，那么第三条边长所有可能的值为．
（2）如图①，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E是AB的中点．
求证：△DCE是倍边三角形；
（3）如图②，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8，若点D在边AB上（点D不与A、B重合），且△BCD是倍边三角形，求BD的长．

难度：较难

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7．如图1，在△ABC中，G是BC的中点，E是AG的中点，CE的延长线交AB于D，求AD：BD

（1）解：过G作GF∥AB，交CD于F．
请继续完成解答过程：
（2）创新求解：利用“杠杆平衡原理”
解答本题：（如图2）设G点为杠杆BC的支点，B端所挂物体质量为1Kg；则C端所挂物体质量为1Kg，G点承受质量为2Kg；当E点为杠杆AG的支点，则A端所挂物体质量为2Kg；
再以D为杠杆AB的支点时，AD：BD=1kg：2kg=1：2应用：如图3，在△ABC中，G是BC上一点，E是AG上一点，CE的延长线交AB于D，且
BG
CG
=
2
3
，
AE
EG
=2，求AD：BD
解：设G点为杠杆BC的支点，B端所挂物体质量为6Kg，则C端所挂物体质量为 kg，G点承受质量为 kg；当E点为杠杆AG的支点，则A端所挂物体质量为 kg；再以D为杠杆AB的支点时，AD：BD= ．

难度：中等

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8．如图1，已知AB⊥BM，AB=2，点P为射线BM上的动点，联结AP，作BH⊥AP，垂足为H，∠APM的平分线交BH的延长线于点D，联结AD．
（1）若∠BAP=30°，求∠ADP的度数；
（2）若S_△ADP：S_△ABP=3：2，求BP的长；
（3）若AD∥BM（如图2），求BP的长．

难度：中等

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9．已知：如图，△ABC中，AC=BC，CD⊥AB，垂足是D，点E是线段CD上一点，AE的延长线交BC于F．过B作AC的平行线交AE的延长线于G．
（1）求证：∠G=∠CBE；
（2）若AE=2EF，那么GF和EF有何数量关系？请写出你的结论并予以证明；
（3）若AE=nEF（其中n＞1），那么GF和EF又有何数量关系？请直接写出你的结论，不必证明．

难度：较难

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10．在Rt△ABC中，AB=6，∠B=90°，BC=8，点P从A出发沿AC方向在运动速度为3个单位/秒，点Q从C出发向点B运动，速度为1个单位/秒，P、Q同时出发，点Q到点B时两点同时停止运动．
（1）点P在线段AC上运动，过P作DP⊥PQ交边AB于D，t=2时，求
PD
PQ
的值；
（2）运动t秒后，∠BPQ=90°，求此时t的值；
（3）t= 时，AQ=QP．

难度：较难

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