知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•长春一模）如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，CD⊥AB于点D，动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，过点P作PQ∥BC交折线AD-DC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQR，设四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积为S（cm²），点P运动的时间为t（s）．
（1）当点Q在线段AD上时，用含t的代数式表示QR的长；
（2）求点R运动的路程长；
（3）当点Q在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值．

难度：较难

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2．（2016•乐亭县一模）如图，在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，点O为BC的中点，点P从点A出发，沿折线AC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与Rt△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）当点N落在BC上时，求t的值；
（2）当点O在正方形PQMN内部时，求t的数值范围；
（3）当点P在折线AC-CO上运动时，求S和t之间的函数关系式；
（4）设正方形PQMN对角线的交点为E，当直线CE平分△ABC面积时，直接写出t的值．

难度：中等

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3．（2016•番禺区一模）如图，在梯形ABCD中，∠ABC=∠BAC=90°，在AD上取一点E，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．
（1）试探究AE、ED、DG之间有何数量关系？说明理由；
（2）判断△ABG与△BFE是否相似，并对结论给予证明；
（3）设AD=a，AB=b，BC=c．
①当四边形EFCD为平行四边形时，求a、b、c应满足的关系；
②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．

难度：中等

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4．（2016春•梅河口市校级月考）如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，OA=4，AB=3，动点M从点A出发，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒
5
4
个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示点N到OA的距离；
（2）设△OMN的面积是S，求S与t之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．（2016•濉溪县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为MN（点M、N分别在边AC、BC上），给出以下判断：
①当MN∥AB时，CM=AM；
②当四边形CMDN为矩形时，AC=BC；
③当点D为AB的中点时，△CMN与△ABC相似；
④当△CMN与△ABC相似时，点D为AB的中点．
其中正确的是（把所有正确的结论的序号都填在横线上）．

难度：较难

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6．在△ABC中，AB=AC，点D，点E在边BC上不同的两点，且∠ADE=75°．
（1）如图1，若∠BAC=90°，CD=
2
，求BC的长；
（2）如图2，若∠BAC=90°，∠EAD=45°，求证：DC=
3
BE；
（3）如图3，若∠BAC=120°，∠EAD=60°，请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

难度：中等

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7．（2016•黄浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．
（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；
（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；
（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．

难度：较难

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8．（2016•淅川县一模）在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=4厘米，点P从B出发，以1厘米/秒的速度沿射线BO运动，设点P运动时间为t（t＞0）秒．△APC是以AP为斜边的等腰直角三角形，且C，O两点在直线BO的同侧，连接OC．
（1）当t=1时，求
AC
AO
的值；
（2）求证：△APB∽△ACO；
（3）设△POC的面积为S，求S与t的函数解析式．

难度：较难

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9．已知△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于D，AE⊥BC于E，AE交CD于点M
（1）如图1，连接DE，求证：∠BED=45°
（2）如图2，点F在线段AC上，且∠ABF=∠BCD，BF交CD于H、交AE于G，∠EGF的角平分线交AC于N，连接DN，请探究线段AM和DN之间的数量关系，并证明你的结论．

难度：较易

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10．如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=18，CD=9，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，E是CD上动点，连接PA，PE
（1）如果BC=30，CE=8那么是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、E三点为顶点的三角形相似？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由；
（2）若PE⊥PA且点E总在线段CD上，则m的取值范围是；
（3）如图2，若PE⊥PA，m=36，将△PEC沿PE翻折到△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．

难度：较易

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