知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如有关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．
请你利用重心的概念完成如下问题：

（1）如图1，△ABC的中线AD、CE的交点O为三角形的重心，利用三角形的中位线可以证明：
AO
AD
=
2
3
，请你完成该证明；
（2）运用第（1）的结论解决以下问题：
①小丽说：“过三角形的重心任画一条直线都能将三角形的面积平分”．小明想了想说：“这个说法是错误的．”他过点O画出了BC的平行线，交AB、AC于点E、F，如图2，你能求出
S△AEF
S四边形EBCF
的值吗？谁的说法正确？
②△ABC中，∠C=90°，AB=6cm，求△ABC的重心与外心的距离．

难度：较难

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2．如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．

（1）当t=
1
2
秒时，则OP= ，S_△ABP= ；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ•BP=3．为了证明AQ•BP=3，小华同学尝试过O点作OE∥AP交BP于点E．试利用小华同学给我们的启发补全图形并证明AQ•BP=3．

难度：较难

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3．已知：过△ABC的顶点作直线MN∥AC，D为BC边上一点，连结AD，作∠ADE=∠BAC交直线MN于点E，DE交AB于点F（如图1）．
（1）找出图中与∠BED相等的角，并证明；
（2）若AB=AC（如图2），其它条件不变，求证：AD=DE；
（3）若AB=kAC（如图3），其它条件不变，探究线段AD，DE之间的数量关系，并证明．（用含k的式子表示）

难度：中等

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4．如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，设运动时间为x秒．
（1）当x为何值时，BP=CQ；
（2）以A、P、Q为顶点的三角形能否与以C、Q、B为顶点的三角形相似？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．

难度：较难

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5．如图，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结BE、CE．
（1）若a=5，sin∠ACB=
5
13
，求b．
（2）若a=5，b=10当BE⊥AC时，求出此时AE的长．
（3）设AE=x，试探索点E在线段AD上运动过程中，使得△ABE与△BCE相似时，求a、b应满足什么条件，并求出此时x的值．

难度：较难

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6．请阅读下面材料，并回答所提出的问题．
三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分队边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
已知：
AB
AC
=
BD
DC

证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．
∴∠1=∠E，∠2=∠3．----①
∵AD是角平分线，
∴∠1=∠2．
∴∠3=∠E．----②
又∵AD∥CE，
∴
AB
AE
=
BD
DC
----③
∴
AB
AC
=
BD
DC
．
（1）上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？（写出两条即可）
（2）用三角形内角平分线定理解答，已知，△ABC中，AD是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的长；
（3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究△ABBD和△ACD面积的比来证明三角形内角平分线定理．

难度：中等

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7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12cm，BC=4cm，点E从点C出发沿射线CA以每秒3cm的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动．设运动时间为t秒．
（1）若0＜t＜4，试问：t为何值时，以E、C、F为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）若∠ACB的平分线CG交△ECF的外接圆于点G．
①试说明：当0＜t＜4时，CE、CF、CG在运动过程中，满足CE+CF=
2
CG；
②试探究：当t≥4时，CE、CF、CG的数量关系是否发生变化，并说明理由．

难度：较难

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8．对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相同，因此△ACB和△A′B′C′互为顺相似；如图②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互为逆相似．

（1）根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件．可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ；其中，互为顺相似的是；互为逆相似的是．（填写所有符合要求的序号）．

（2）如图③，在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边AB上（不与点A，B重合）．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，请在备用图中画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．

难度：较难

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9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点（点P不与A、D重合），PE⊥BP，PE交DC于点E．
（1）求证：△ABP∽△DPE；
（2）设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由．

难度：较难

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