知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

边长为\(10cm\)的等边三角形的面积是_________ ．

难度：难

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2．

在\(Rt\triangle ABC\)中， \(∠ACB=90^{\circ}\)，\(CD\)是\(AB\)边的中线，\(DE⊥BC\)于\(E\)，连结\(CD\)，点\(P\)在射线\(CB\)上\((\)与\(B\)，\(C\)不重合\()\)．

\((1)\)如果\(∠A=30^{\circ}\)

\(①\)如图\(1\)，\(∠DCB= \)_________\({\,\!}^{\circ}\)

\(②\)如图\(2\)，点\(P\)在线段\(CB\)上，连结\(DP\)，将线段\(DP\)绕点\(D\)逆时针旋转\(60^{\circ}\)，得到线段\(DF\)，连结\(BF\)，补全图\(2\)猜想\(CP\)、\(BF\)之间的数量关系，并证明你的结论；

\(( 2 )\)如图\(3\)，若点\(P\)在线段\(CB\) 的延长线上，且\(∠A=\alpha \) \((0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ})\) ，连结\(DP\)，将线段\(DP\)绕点逆时针旋转\(2\alpha \)得到线段\(DF\)，连结\(BF\)，请直接写出\(DE\)、\(BF\)、\(BP\)三者的数量关系\((\)不需证明\()\)．

难度：难

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3．
在直线上顺次取\(A\)，\(B\)，\(C\)三点，分别以\(AB\)，\(BC\)为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为\(D\)，\(E\)．

\((1)\)如图\(①\)，连结\(CD\)，\(AE\)，求证：\(CD=AE\)；
\((2)\)如图\(②\)，若\(AB=1\)，\(BC=2\)，求\(DE\)的长；
\((3)\)如图\(③\)，将图\(②\)中的正三角形\(BEC\)绕\(B\)点作适当的旋转，连结\(AE\)，若有\(DE^{2}+BE^{2}=AE^{2}\)，试求\(∠DEB\)的度数．

难度：难

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4．
\((1)\)问题发现
如图\(1\)，\(\triangle ACB\)和\(\triangle DCE\)均为等边三角形，点\(A\)，\(D\)，\(E\)在同一直线上，连接\(BE\)，求\(∠AEB\)的度数．
\((2)\)拓展探究
如图\(2\)，\(\triangle ACB\)和\(\triangle DCE\)均为等腰直角三角形，\(∠ACB=∠DCE=90^{\circ}\)，点\(A\)、\(D\)、\(E\)在同一直线上，\(CM\)为\(\triangle DCE\)中\(DE\)边上的高，连接\(BE.\)请求\(∠AEB\)的度数及线段\(CM\)，\(AE\)，\(BE\)之间的数量关系，并说明理由．

难度：难

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5．

如图，在等边三角形\(ABC\)中，\(CD\)为中线，点\(Q\)在线段\(CD\)上运动，将线段\(QA\)绕点\(Q\)顺时针旋转，使得点\(A\)的对应点\(E\)落在射线\(BC\)上，连接\(BQ\)，设\(∠DAQ=α(0^{\circ} < α < 60^{\circ}\)且\(α\neq 30^{\circ})\)．

\((1)\)当\(0^{\circ} < α < 30^{\circ}\)时，
\(①\)在图中依题意画出图形，并求\(∠BQE(\)用含\(α\)的式子表示\()\)；
\(②\)探究线段\(CE\)，\(AC\)，\(CQ\)之间的数量关系，并加以证明；

\((2)\)当\(30^{\circ} < α < 60^{\circ}\)时，直接写出线段\(CE\)，\(AC\)，\(CQ\)之间的数量关系．

难度：难

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6．
如图，在平面直角坐标系中，点\(A\)的坐标为\((1,0)\)，以线段\(OA\)为边在第四象限内作等边三角形\(AOB\)，点\(C\)为\(x\)正半轴上一动点\((OC > 1)\)，连接\(BC\)，以线段\(BC\)为边在第四象限内作等边\(\triangle CBD\)，连接\(DA\)并延长，交\(y\)轴于点\(E\)．
\(①\triangle OBC\)与\(\triangle ABD\)全等吗？判断并证明你的结论；
\(②\)当点\(C\)运动到什么位置时，以\(A\)，\(E\)，\(C\)为顶点的三角形是等腰三角形？

难度：难

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7．
如图，等边\(\triangle ABC\)的边长是\(2\)，\(D\)、\(E\)分别为\(AB\)、\(AC\)的中点，过\(E\)点作\(EF/\!/DC\)交\(BC\)的延长线于点\(F\)，连接\(CD\)．
\((1)\)求证：四边形\(CDEF\)是平行四边形；
\((2)\)求\(EF\)的长．

难度：难

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8．
如图，已知等边\(\triangle ABC\)，\(AB=12\)，以\(AB\)为直径的半圆与\(BC\)边交于点\(D\)，过点\(D\)作\(DF⊥AC\)，垂足为\(F\)，过点\(F\)作\(FG⊥AB\)，垂足为\(G\)，连结\(GD\)．
\((1)\)求证：\(DF\)是\(⊙O\)的切线；
\((2)\)求\(FG\)的长；
\((3)\)求\(\tan ∠FGD\)的值．

难度：难

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9．
如图，等边\(\triangle ABO\)放置在平面直角坐标系中，\(OA=4\)，动点\(P\)、\(Q\)同时从\(O\)、\(B\)两点出发，分别沿\(OA\)、\(BO\)方向匀速运动，它们的速度均为每秒\(1\)个单位长度，当点\(P\)到达点\(A\)时，\(P\)、\(Q\)两点停止运动，设点\(P\)的运动时间为\(x(s)(0 < x < 4)\)，解答下列问题：
\((1)\)求点\(Q\)的坐标\((\)用含\(x\)的代数式表示\()\)
\((2)\)设\(\triangle OPQ\)的面积为\(S\)，求\(S\)与\(x\)之间的函数关系式；当\(x\)为何值时，\(S\)有最大值？最大值是多少？
\((3)\)是否存在某个时刻\(x\)，使\(\triangle OPQ\)的面积为\( \dfrac {3 \sqrt {3}}{4}\)个平方单位？若存在，求出相应的\(x\)值；若不存在，请说明理由．

难度：难

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10．
如图，在菱形\(ABCD\)中，\(∠DAB=120^{\circ}\)，点\(E\)平分\(DC\)，点\(P\)在\(BD\)上，且\(PE+PC=1\)，那么边长\(AB\)的最大值是 ______ ．

难度：难

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