知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

已知三角形的三边长分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦\((Heron\)，约公元\(50\)年\()\)给出求其面积的海伦公式\(S= \sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}\)，其中\(p= \dfrac {a+b+c}{2}\)；我国南宋时期数学家秦九韶\((\)约\(1202-1261)\)曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式\(S= \dfrac {1}{2} \sqrt {a^{2}b^{2}-( \dfrac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2})^{2}}\)，若一个三角形的三边长分别为\(2\)，\(3\)，\(4\)，则其面积是\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac {3 \sqrt {15}}{8}\)

B．\( \dfrac {3 \sqrt {15}}{4}\)

C．\( \dfrac {3 \sqrt {15}}{2}\)

D．\( \dfrac { \sqrt {15}}{2}\)

难度：较易

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2．
我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作\(《\)数书九章\(》\)一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，则该三角形的面积为\(S= \sqrt { \dfrac {1}{4}[a^{2}b^{2}-( \dfrac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2})^{2}]}\)，现已知\(\triangle ABC\)的三边长分别为\(1\)，\(2\)，\( \sqrt {5}\)，则\(\triangle ABC\)的面积为 ______ ．

难度：较易

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3．
已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作\(《\)度量论\(》\)一书中给出了计算公式--海伦公式\(S= \sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}(\)其中\(a\)，\(b\)，\(c\)是三角形的三边长，\(p= \dfrac {a+b+c}{2}\)，\(S\)为三角形的面积\()\)，并给出了证明
例如：在\(\triangle ABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)，那么它的面积可以这样计算：
\(∵a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)
\(∴p= \dfrac {a+b+c}{2}=6\)
\(∴S= \sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}= \sqrt {6×3×2×1}=6\)
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
如图，在\(\triangle ABC\)中，\(BC=5\)，\(AC=6\)，\(AB=9\)
\((1)\)用海伦公式求\(\triangle ABC\)的面积；
\((2)\)求\(\triangle ABC\)的内切圆半径\(r\)．

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