知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，对称轴为直线\(x=2\)的抛物线经过\(A(-1,0)\)，\(C(0,5)\)两点，与\(x\)轴另一交点为\(B.\)已知\(M(0,1)\)，\(E(a,0)\)，\(F(a+1,0)\)，点\(P\)是第一象限内的抛物线上的动点．
\((1)\)求此抛物线的解析式；
\((2)\)当\(a=1\)时，求四边形\(MEFP\)的面积的最大值，并求此时点\(P\)的坐标；
\((3)\)若\(\triangle PCM\)是以点\(P\)为顶点的等腰三角形，求\(a\)为何值时，四边形\(PMEF\)周长最小？请说明理由．

难度：难

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2．
在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角\((\)两边足够长\()\)，用\(28m\)长的篱笆围成一个矩形花园\(ABCD(\)篱笆只围\(AB\)，\(BC\)两边\()\)，设\(AB=xm\)．
\((1)\)若花园的面积为\(192m^{2}\)，求\(x\)的值；
\((2)\)若在\(P\)处有一棵树与墙\(CD\)，\(AD\)的距离分别是\(15m\)和\(6m\)，要将这棵树围在花园内\((\)含边界，不考虑树的粗细\()\)，求花园面积\(S\)的最大值．

难度：难

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3．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线\(y=ax^{2}+bx+4\)与坐标轴分别交于点\(A\)、点\(B\)、点\(C\)，并且\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(AB=10\)．
\((1)\)求证：\(\triangle OAC\)∽\(\triangle OCB\)；
\((2)\)求该抛物线的解析式；
\((3)\)若点\(P\)是\((2)\)中抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点\(P\)使得\(\triangle PAC\)为等腰三角形？若存在，请直接写出点\(P\)的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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4．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，二次函数\(y=-x^{2}+(m-1)x+4m\)的图象与\(x\)轴负半轴交于点\(A\)，与\(y\)轴交于点\(B(0,4)\)，已知点\(E(0,1)\)．
\((1)\)求\(m\)的值及点\(A\)的坐标；
\((2)\)如图，将\(\triangle AEO\)沿\(x\)轴向右平移得到\(\triangle A′E′O′\)，连结\(A′B\)、\(BE′\)．
\(①\)当点\(E′\)落在该二次函数的图象上时，求\(AA′\)的长；
\(②\)设\(AA′=n\)，其中\(0 < n < 2\)，试用含\(n\)的式子表示\(A′B^{2}+BE′^{2}\)，并求出使\(A′B^{2}+BE′^{2}\)取得最小值时点\(E′\)的坐标；
\(③\)当\(A′B+BE′\)取得最小值时，求点\(E′\)的坐标．

难度：较易

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5．
对某一个函数给出如下定义：若存在实数\(M > 0\)，对于任意的函数值\(y\)，都满足\(-M\leqslant y\leqslant M\)，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的\(M\)中，其最小值称为这个函数的边界值\(.\)例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是\(1\)．
\((1)\)分别判断函数 \(y= \dfrac {1}{x}(x > 0)\)和\(y=x+1(-4 < x\leqslant 2)\)是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
\((2)\)若函数\(y=-x+1(a\leqslant x\leqslant b,b > a)\)的边界值是\(2\)，且这个函数的最大值也是\(2\)，求\(b\)的取值范围；
\((3)\)将函数 \(y=x^{2}(-1\leqslant x\leqslant m,m\geqslant 0)\)的图象向下平移\(m\)个单位，得到的函数的边界值是\(t\)，当\(m\)在什么范围时，满足\( \dfrac {3}{4}\leqslant t\leqslant 1\)？

难度：较难

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6．
如图，直线\(y=- \dfrac {1}{2}x-1\)与\(x\)轴交于点\(A\)，与\(y\)轴交于点\(B\)，抛物线\(y=ax^{2}+bx(a\neq 0)\)经过原点和点\(C(4,0)\)，顶点\(D\)在直线\(AB\)上．
\((1)\)求这个抛物线的解析式；
\((2)\)在抛物线的对称轴上是否存在点\(P\)，使得以\(P\)、\(C\)、\(D\)为顶点的三角形与\(\triangle ACD\)相似\(.\)若存在，请求出点\(P\)的坐标；若不存在，请说明理由；
\((3)\)点\(Q\)是\(x\)轴上方的抛物线上的一个动点，若\(\cos ∠OQC= \dfrac {2 \sqrt {5}}{5}\)，\(⊙M\)经过点\(O\)，\(C\)，\(Q\)，求过\(C\)点且与\(⊙M\)相切的直线解析式．

难度：中等

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7．

某商品的进价为每件\(40\)元，当售价为每件\(60\)元时，每星期可卖出\(300\)件，现需降价处理，且经市场调查，每降价\(1\)元，每星期可多卖出\(20\)件，在确保盈利的前提下，解答下列问题：

\((1)\)若设每件降价\(x(x\)为整数\()\)元，每星期售出商品的利润为\(y\)元，请写出\(x\)与\(y\)之间的函数关系式，并求出自变量\(x\)的取值范围；

\((2)\)请画出上述函数的大致图象．

\((3)\)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

小丽解答过程如下：

解：\((1)\)根据题意，可列出表达式：

\(y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x)\)，

即\(y=-20x^{2}+100x+6000\)．

\(∵\)降价要确保盈利，\(∴40 < 60-x\leqslant 60.\)解得\(0\leqslant x < 20\)．

\((2)\)上述表达式的图象是抛物线的一部分，函数的大致图象如图：

\((3)∵a=-20 < 0\)，

\(∴\)当\(x=-\dfrac{b}{2a}=2.5\)时，\(y\)有最大值，\(y=\dfrac{4ac-{{b}^{2}}}{4a}=6125\)．

所以，当降价\(2.5\)元时，每星期的利润最大，最大利润为\(6125\)．

老师看了小丽的解题过程，说小马第\((1)\)问的表达式是正确的，但自变量\(x\)的取值范围不准确\(.(2)(3)\)问的答案，也都存在问题\(.\)请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为\((1)(2)(3)\)中正确的答案，或说明错误原因．

难度：中等

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8．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(y=x+1\)与\(y\)轴交于点\(A\)，并且经过点\(B(3,n)\)．

\((1)\)求点\(B\)的坐标；

\((2)\)如果抛物线\(y=a{{x}^{2}}-4ax+4a-1 (a > 0)\)与线段\(AB\)有唯一公共点，求\(a\)的取值范围．

难度：中等

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9．

如图，点\(A\)，\(B\)的坐标分别为\((1,4)\)和\((4,4)\)，抛物线\(y=a(x-m)^{2}+n\)的顶点在线段\(AB\)上运动\((\)抛物线随顶点一起平移\()\)，与\(x\)轴交于\(C\)、\(D\)两点\((C\)在\(D\)的左侧\()\)，点\(C\)的横坐标最小值为\(-3\)，则点\(D\)的横坐标最大值为\((\)　　\()\)

A．\(-3\)

B．\(1\)

C．\(5\)

D．\(8\)

难度：难

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10．
为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是\(40\)元\(.\)超市规定每盒售价不得少于\(45\)元\(.\)根据以往销售经验发现；当售价定为每盒\(45\)元时，每天可以卖出\(700\)盒，如果每盒售价每提高\(1\)元，则每天要少卖出\(20\)盒．
\((1)\)试求出每天的销售量\(y(\)盒\()\)与每盒售价\(x(\)元\()\)之间的函数关系式；
\((2)\)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润\(P(\)元\()\)最大？最大利润是多少？

难度：较易

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