知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．阅读：△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，△ABC的边角有如下性质：
①正弦定理：
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC

②余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，b²=a²+c²-2accosB，c²=a²+b²-2abcosC．
③S_△ABC=
1
2
absin C=
1
2
bcsin A=
1
2
acsin B
请你根据上述结论求解下列问题：在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且2asin B=
3
b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．

难度：中等

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2．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3+
3
)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20
3
海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

难度：中等

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3．在△ABC中，cosA=
b2+c2-a2
2bc
，cosB=
a2+c2-b2
2ac
，cosC=
a2+b2-c2
2ab
，我们称为余弦定理，请用余弦定理完成下面的问题．请用余弦定理完成下面的问题：
（1）如图，已知△DEF，∠E=60°，DE=4，DF=
13
，求EF的长度；
（2）通过合理的构造，试求cos105°．

难度：中等

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4．如图，⊙O是锐角△ABC的外接圆，其半径为R．BC=a，AC=b，AB=c．求证：
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R．
[提示：作直径BD，连接CD]•

难度：较易

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5．如图，圆O是锐角△ABC的外接圆，其半径为R．BC=a，AC=b，AB=c．求证：
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R．

难度：中等

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6．在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=
3
，AC=3，CD=
6
，求AB的长．

难度：中等

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7． △ABC中，∠CAB=75°，CD为AB边上的高，AB=2CD，判断△ABC的形状并证明．

难度：较易

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8．已知，圆内接三角形的两边长为6和9，夹角为60°，求圆的半径．

难度：较易

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9．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．

难度：较易

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10．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC=30°，AD=3，BD=5．求四边形ABCD的面积．

难度：较易

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