知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

2．若x+y=m+n，且x²+y²=m²+n²．求证：x²⁰⁰¹+y²⁰⁰¹=m²⁰⁰¹+n²⁰⁰¹．

难度：中等

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3．已知：a≠0，14（a²+b²+c²）=（a+2b+3c）²，那么a：b：c= ．

难度：较难

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4．证明以下各式：
（1）若abc=1，则
1
ab+a+1
+
1
bc+b+1
+
1
ac+c+1
=1
（2）若a+b+c=0，则
1
a2+b2-c2
+
1
b2+c2-a2
+
1
c2+a2-b2
=0
（3）已知：
x
a
+
y
b
+
z
c
=1且
a
x
+
b
y
+
c
z
=0，求证：
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
=1
（4）若：x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by．求证：
a
1+a
+
b
1+b
+
c
1+c
=1．

难度：中等

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5．若
x
y+z+t
=
y
z+t+x
=
z
t+x+y
=
t
x+y+z
，记A=
x+y
z+t
+
y+z
t+x
+
z+t
x+y
+
t+x
y+z
，证明：A是一个整数．

难度：中等

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6．命题（*）：设a，b，c是非负实数，如果a⁴+b⁴+c⁴≤2（a²b²+b²c²+c²a²），则a²+b²+c²≤2（ab+bc+ca）
（1）证明命题（*）是正确的；
（2）试写出命题（*）的逆命题，并判定你写出的逆命题是否是真命题，写出理由．

难度：中等

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7． x，y，z是实数，并且满足x+y+z=0，xyz=2，则|x|+|y|+|z|的最小值等于．

难度：中等

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8．已知
a+b
a-b
=
b+c
2(b-c)
=
c+a
3(c-a)
，a，b，c互不相等．求证：8a+9b+5c=0．

难度：中等

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9．设m、n、p、q为非负整数，且对于一切x＞0，
(x+1)m
xn
-1=
(x+1)p
xq
恒成立，则（m²+mn+p）^2q= ．

难度：中等

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10．已知：x⁷-1=0，则y=
x
1+x2
+
x2
1+x4
+
x3
1+x6
= ．

难度：较易

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