知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： $%20%5Cfrac%20%7Bx%2B1%7D%7Bx-1%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7Bx-1%2B2%7D%7Bx-1%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7Bx-1%7D%7Bx-1%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bx-1%7D$ =1+ $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bx-1%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B2x-3%7D%7Bx%2B1%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B2x%2B2-5%7D%7Bx%2B1%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B2x%2B2%7D%7Bx%2B1%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B-5%7D%7Bx%2B1%7D$ =2+ $%20%5Cfrac%20%7B-5%7D%7Bx%2B1%7D$ ，则 $%20%5Cfrac%20%7Bx%2B1%7D%7Bx-1%7D$ 和 $%20%5Cfrac%20%7B2x-3%7D%7Bx%2B1%7D$ 都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是______（填序号）；
① $%20%5Cfrac%20%7Bx%2B1%7D%7Bx%7D$ ；② $%20%5Cfrac%20%7B2%2Bx%7D%7B2%7D$ ；③ $%20%5Cfrac%20%7Bx%2B2%7D%7Bx%2B1%7D$ ；④ $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%2B1%7D%7By%5E%7B2%7D%7D$
（2）将“和谐分式” $%20%5Cfrac%20%7Ba%5E%7B2%7D-2a%2B3%7D%7Ba-1%7D$ 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： $%20%5Cfrac%20%7Ba%5E%7B2%7D-2a%2B3%7D%7Ba-1%7D$ =______+______；
（3）应用：先化简 $%20%5Cfrac%20%7B3x%2B6%7D%7Bx%2B1%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7Bx-1%7D%7Bx%7D$ ÷ $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D-1%7D%7Bx%5E%7B2%7D%2B2x%7D$ ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．

难度：难

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2．
已知$\begin{cases}x+4y-3z=0 \\ 4x-5y+2z=0\end{cases} $，$xyz\neq 0$，求$ \dfrac {3x^{2}+2xy+z^{2}}{x^{2}+y^{2}}$的值．

难度：较易

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3．

化简：$ \dfrac {2}{a-1}+ \dfrac {a+3}{1-a^{2}}.($按要求填空$)$

解答过程	解答步骤说明	解题依据$($用文字或符号填写知识的名称和具体内容，每空一个$)$
$ \dfrac {2}{a-1}+ \dfrac {a+3}{1-a^{2}}$	此处不填	此处不填
$= \dfrac {2a+2-(a+3)}{(a+1)(a-1)}$	示例：通分	示例：分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以同一个不等于零的整数，分式的值不变$($或者同分母分式相加减法则：$ \dfrac {b}{a}± \dfrac {c}{a}= \dfrac {b±c}{a})$
$= \dfrac {2a+2-a-3}{(a+1)(a-1)}$	去括号	______ $①$
$= \dfrac {a-1}{(a+1)(a-1)}$	合并同类项	此处不填
$=$ ______ $②$	______ $③$	______ $④$

难度：易

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4．
已知实数$a$，$b$，$c$满足$(a-b)^{2}+b^{2}+c^{2}-8b-10c+41=0$．
$(1)$分别求$a$，$b$，$c$的值；
$(2)$若实数$x$，$y$，$z$满足$ \dfrac {xy}{x+y}=-a$，$ \dfrac {yz}{y+z}= \dfrac {c}{a}$，$ \dfrac {zx}{z+x}=- \dfrac {c}{b}$，求$ \dfrac {xyz}{xy+yz+zx}$的值．

难度：较易

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5．
探索：

$(1)$如果$\dfrac{3x+4}{x+1}=3+\dfrac{m}{x+1}$，则$m=\_$ $\_$；

$(2)$如果$\dfrac{5x-3}{x+2}=5+\dfrac{m}{x+2}$，则$m=\_$ $\_$；

$(3)$总结：如果$\dfrac{ax+b}{x+c}=a+\dfrac{m}{x+c}($其中$a$、$b$、$c$为常数$)$，则$m=\_$ $\_$　；

$(4)$应用：利用上述结论解决：若代数式$\dfrac{4x-3}{x-1}$的值为整数，求满足条件的整数$x$的值．

难度：易

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6．已知 $x%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D%3D3$ ，求 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Bx%5E%7B4%7D%2Bx%5E%7B2%7D%2B1%7D$ 的值．

难度：较易

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7．
已知$x+ \dfrac {1}{x}=3$，求$ \dfrac {x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}$的值．

难度：较易

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8．
先将分式$(1+\dfrac{3}{x-1})\div \dfrac{x+2}{{{x}^{2}}-1}$化简，再选择使原式有意义而你又喜欢的数代入求值．

难度：较难

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9．
先将分式$(1+\dfrac{3}{x-1})\div \dfrac{x+2}{{{x}^{2}}-1}$化简，再选择一个你非常喜欢的数代入求值。

难度：较难

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10．不改变分式的值，下列分式的分子、分母中的系数都化为整数．
（1）
2x+
2
5
y
1
3
x-y
；
（2）
0.5a-1
0.3a+2
．

难度：中等

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解答过程	解答步骤说明	解题依据\((\)用文字或符号填写知识的名称和具体内容，每空一个\()\)
\( \dfrac {2}{a-1}+ \dfrac {a+3}{1-a^{2}}\)	此处不填	此处不填
\(= \dfrac {2a+2-(a+3)}{(a+1)(a-1)}\)	示例：通分	示例：分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以同一个不等于零的整数，分式的值不变\((\)或者同分母分式相加减法则：\( \dfrac {b}{a}± \dfrac {c}{a}= \dfrac {b±c}{a})\)
\(= \dfrac {2a+2-a-3}{(a+1)(a-1)}\)	去括号	______ \(①\)
\(= \dfrac {a-1}{(a+1)(a-1)}\)	合并同类项	此处不填
\(=\) ______ \(②\)	______ \(③\)	______ \(④\)