知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•重庆模拟）阅读理解：对于任意正实数a、b，∵（
a
-
b
）²≥0，∴a-2
ab
+b≥0，∴a+b≥2
ab
，当且仅当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2
ab
（a、b均为正实数）中，若ab为定值P，则a+b≥2
P
，
当且仅当a=b时，a+b有最小值2
P
．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若x＞0，只有当x= 时，4x+
9
x
有最小值为．
（2）探索应用：如图，已知A（-2，0），B（0，-3），点P为双曲线y=
6
x
（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
（3）已知x＞0，则自变量x为何值时，函数y=
x
x2-4x+16
取到最大值，最大值为多少？

难度：较难

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2．如图，直线y=mx+4与反比例函数y=
k
x
（k＞0）的图象交于点A、B，与x轴、y轴分别交于D、C，tan∠CDO=2，AC：CD=1：2．
（1）求反比例函数解析式；
（2）联结BO，求∠DBO的正切值；
（3）点M在直线x=-1上，点N在反比例函数图象上，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

难度：较难

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3．如图1所示，已知函数y=
6
x
（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0）．动点M是y轴正半轴上点B上方的点．动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q．连接AQ，取AQ的中点C．
（1）如图2，连接BP，求△PAB的面积；
（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2
3
，求此时P点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点S，使得以点D、Q、N、S为顶点的四边形为平行四边
形？如果存在，请直接写出所有的点S的坐标；如果不存在，请说明理由．

难度：较难

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4．（2016春•江阴市校级期中）【阅读理解】对于任意正实数a、b，
∵（
a
-
b
）²≥0，
∴a-2
ab
+b≥0，
∴a+b≥2
ab
，（只有当a=b时，a+b等于2
ab
）．
【获得结论】在a+b≥2
ab
（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，
则a+b≥2
p
，只有当a=b时，a+b有最小值2
p
．
根据上述内容，回答下列问题：若m＞0，只有当m= 时，m+
4
m
有最小值．
【探索应用】已知点Q（-3，-4）是双曲线y=
k
x
上一点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线y=
k
x
（x＞0）上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值．

难度：中等

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5．（2016•河南模拟）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y=
k
x
（k≠0）（x＞0）相交于点A、C，与x轴相交于点B、D，连接AC．已知点A、B的刻度分别为5，2（单位：cm），直尺的宽度为2cm，OB=2cm．
（1）求k的值；
（2）求经过A、C两点的直线的解析式；
（3）连接OA、OC，求△OAC的面积．

难度：中等

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6．（2016•徐州校级一模）如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=
2
x
于点D，从点D分别作两坐标轴的垂线DC、DE，垂足分别为C、E，连接BC、OD．
（1）当b=-1时，求出点D坐标并判断四边形OBCD的形状；
（2）当b为任意实数时（b≠0），
①求证：AD平分∠CDE；
②求AD•BD的值．

难度：较难

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7．（2016•南沙区一模）已知反比例函数y=
a+4
x
（a为常数）的图象经过点B（-4，2）．
（1）求a的值；
（2）如图，过点B作直线AB与函数y=
a+4
x
的图象交于点A，与x轴交于点C，且AB=3BC，过点A作直线AF⊥AB，交x轴于点F，求线段AF的长．

难度：较难

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8．对于平面直角坐标系 xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+
b
k
，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+
4
2
，2×1+4），即P′（3，6）．
（1）点P（-1，-2）的“2属派生点”P′的坐标为；
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且△OPP′为等腰直角三角形，求k的值；
（3）已知点Q为二次函数y=x2+4
3
x+16图象上的一动点，点A在函数y=-
4
3
x
（x＜0）的图象上，且点A是点B的“-
3
属派生点”，当线段B Q最短时，求Q点坐标．

难度：中等

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9．（2015秋•南京校级月考）如图，直线y=ax+1（a≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y=
k
x
在第四象限的交点为C．若点B与点C关于点A对称，且△BOC的面积为2．
（1）求a、k的值；
（2）问：在x轴上是否存在这样的点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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