知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知，如图，在平面直角坐标系中，A（-2，0），B（3，0），直线l：y=kx+b经过B点，与y轴的正半轴交于C点，连接AC．此时∠ACB=45°，有一⊙D经过△ABC的三个顶点．
（1）求⊙D的圆心D的坐标；
（2）求直线l解析式；
（3）直接写出直角△AOC的内切圆的半径的长．

难度：中等

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2．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=-x²+bx+a与x轴相交于点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相较于点C，直线y=kx-3k经过点B、C两点，且△BOC为等腰直角三角形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点C作直线l∥x轴，P为直线l上方抛物线上一点，连接PB，PB与直线l相交于点D，将线段BD绕点B逆时针旋转90°后得到线段BE，过点E作BC的平行线，它与直线l相交于点F，连接PF，设点P的横坐标为t，△PDF的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，N为PB中点，Q为线段DF上一点，连接PC、QB、QN，当△PCF的面积与△BCD的面积相等，且QN平分∠BQD时，求点Q的坐标．

难度：较难

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3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AD=6．BC=3，DE⊥AB于E，AC交DE于F
（1）求AE•AB的值；
（2）若CD=4，求
AF
FC
的值；
（3）若CD=6，过A点作AM∥CD交CE的延长线于M，求
ME
EC
的值．

难度：中等

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4．如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连结DE交OM于点K．
（1）若点M的坐标为（3，4），
①求A，B两点的坐标；
②求ME的长．
（2）若
OK
MK
=3，求∠OBA的度数．
（3）设tan∠OBA=x（0＜x＜1），
OK
MK
=y，直接写出y关于x的函数解析式．

难度：较难

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5．【问题情境】如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．
【结论运用】如图2，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；
【迁移拓展】图3是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，
ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=8，AD=3，BD=7；M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．

难度：难

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6．已知Rt△ABC中，AC=BC=2．一直角的顶点P在AB上滑动，直角的两边分别交线段AC，BC于E．F两点
（1）如图1，当
AP
PB
=
1
3
且PE⊥AC时，求证：
PE
PF
=
1
3
；
（2）如图2，当
AP
PB
=1时（1）的结论是否仍然成立？为什么？
（3）在（2）的条件下，将直角∠EPF绕点P旋转，设∠BPF=α（0°＜α＜90°）．连结EF，当△CEF的周长等于2+
2
3
6
时，请直接写出α的度数．

难度：较难

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7．如图，在边长为2的正方形ABCD内，以BC为直径作半圆，点E从点B出发以每秒1个单位的速度沿线段BA向点A运动，同时点F从点A出发以每秒2个单位的速度沿折线A-D-C向点C运动．设他们运动的时间为t秒，连接EF，当1＜t＜2时，请解决下列问题：

（1）当t等于多少时，EF∥BC？
（2）当t等于多少时，EF与半圆相切？
（3）设EF与AC的交点为P，在点E、F运动过程中，点P的位置会发生变化吗？请说明理由．

难度：较难

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8．如图，抛物线y=
1
2
x²+mx+n与直线y=-
1
2
x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒
2
个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

难度：较难

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9．（2015•福州）定义：长宽比为
n
：1（n为正整数）的矩形称为
n
矩形．
下面，我们通过折叠的方式折出一个
2
矩形，如图①所示．
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．
则四边形BCEF为
2
矩形．
证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD=
12+12
=
2
．
由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．
∴∠A=∠BFE．
∴EF∥AD．
∴
BG
BD
=
BF
AB
，即
1
2
=
BF
1
．
∴BF=
1
2
．
∴BC：BF=1：
1
2
=
2
：1．
∴四边形BCEF为
2
矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
（1）在图①中，所有与CH相等的线段是，tan∠HBC的值是；
（2）已知四边形BCEF为
2
矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是
3
矩形；
（3）将图②中的
3
矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“
n
矩形”，则n的值是．

难度：中等

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10．阅读理解
抛物线y=
1
4
x²上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=-1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．
问题解决
如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=
1
4
x²的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=-1的垂线，交于E，F两点．
（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；
（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．
①求证：PE²+PF²=2（PM²+EM²）；
②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．

难度：难

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