知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．求值题：
（1） $%20%5Cfrac%20%7Ba%5E%7B2%7D-4b%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B3%7D-4a%5E%7B2%7Db%2B4ab%5E%7B2%7D%7D$ ，其中a=-3，b=1；
（2）已知 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7By%7D$ =3，求 $%20%5Cfrac%20%7Bx-y%2Bxy%7D%7B2xy-3x%2B3y%7D$ 的值．

难度：较易

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2．
我们知道：分式和分数有着很多的相似点。如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等。小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数。类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式。对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如$\dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{x-1+2}{x-1}=\dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{2}{x-1}=1+\dfrac{2}{x-1}$

$(1)$下列分式中，属于真分式的是$($ $)$
A、$\dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}$ $B$、$\dfrac{x-1}{x+1}$ $C$、$-\dfrac{3}{2x-1}$ $D$、$\dfrac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-1}$

$(2)$将假分式$\dfrac{{{m}^{2}}+3}{m+1}$化成整式和真分式的和的形式．

难度：难

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3．
化简求值$\left( 1-\dfrac{2}{x+2} \right)\div \dfrac{1}{{{x}^{2}}-4}$，其中$x$是方程$\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-x-4=0$的解．

难度：较易

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4．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ =1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：像 $%20%5Cfrac%20%7Bx%2B1%7D%7Bx-1%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Bx-2%7D$ ，…这样的分式是假分式；像 $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bx-2%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B2x%7D%7Bx%5E%7B2%7D%2B1%7D$ ，…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整数与真分式的和的形式．
例如： $%20%5Cfrac%20%7Bx%2B1%7D%7Bx-1%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%28x-1%29%2B2%7D%7Bx-1%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7Bx-1%7D%7Bx-1%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bx-1%7D$ =1+ $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bx-1%7D$ ；
$%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Bx-2%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D-4%2B4%7D%7Bx-2%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%28x%2B2%29%28x-2%29%2B4%7D%7Bx-2%7D$ =x+2+ $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bx-2%7D$ ；
或 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Bx-2%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D-4x%2B4%2B4x-8%2B4%7D%7Bx-2%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%28x-2%29%5E%7B2%7D%2B4%28x-2%29%2B4%7D%7Bx-2%7D$ =（x-2）+4+ $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bx-2%7D$ =x+2+ $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bx-2%7D$
（1）分式 $%20%5Cfrac%20%7B8%7D%7Bx%2B2%7D$ 是______分式（填“真”或“假”）；
（2）将分式 $%20%5Cfrac%20%7Bx-1%7D%7Bx%2B2%7D$ 化为整式与真分式的和的形式；
（3）如果分式 $%20%5Cfrac%20%7B3x%5E%7B2%7D-1%7D%7Bx-1%7D$ 的值为整数，求x的整数值．

难度：中等

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5．已知a²-3a-1=0
①a³-a²-7a+2016的值；
②求 $%20%5Cfrac%20%7B3a%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B4%7D%2B5a%5E%7B2%7D%2B1%7D$ 的值．

难度：中等

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6．在三个整式$x^{2}-1$，$x^{2}+2x+1$，$x^{2}+x$中，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当$x=2$时分式的值．

难度：较易

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7．
由${x}^{2}⩾0 $ 可知，任意实数的平方总为非负数，且当$x=0$时，有最小值为$0$。

$(1)$分式 $ \dfrac{x}{{x}^{2}+1} $有意义，则$x$的取值范围是_____________；

$(2)$分式$ \dfrac{1}{{x}^{2}−2x+m} $ 总有意义，则 $m $ 取何值？

$(3)$试求二次三项式${x}^{2}-2tx+1 (t$为常数$)$在$-1\leqslant x\leqslant 1 $ 上的最小值 ${\,\!}_{。}$

难度：难

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8．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数：
（1）
1-a-a2
1+a2-a3
；
（2）
x+1
1-x2
；
（3）-
1-a3
a2-a+1
．

难度：中等

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9．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数都化为整数．
（1）
0.5x-0.2y
0.3x+2y
；（2）
a+
1
4
b
4
3
a-2b
．

难度：中等

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10．阅读材料：已知分式
3n+8
n+1
，化简后结果是整数，符合一切整数的n有哪些？
解：∵
3n+8
n+1
=
3n+3+5
n+1
=3+
5
n+1
．
∴只要求出
5
n+1
是整数，则n+1是5的约数，即n+1=5，n+1=1，n+1=-5，n+1=1．
∴n₁=4，n₂=0，n₃=-6，n₄=2．
（1）已知分式
2n+9
n+1
，化简后结果是整数，符合要求的整数n有哪些？
（2）已知分式
3n2+7n+7
n+2
，化简后结果是整数，符合要求的整数n有哪些？

难度：中等

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