如图，\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)是两个全等的等腰直角三角形，其中\(∠BAC=∠EDF=90^{\circ}\)、\(AB=AC=1\)，\(\triangle DEF\)中的点\(E\)在\(BC\)边上运动\((\)不与\(B\)、\(C\)重合\()\)，\(DE\)始终经过点\(A\)，设\(EF\)交\(AC\)于点\(H\)

\((1)\)求证：\(\triangle ABE\)∽\(\triangle ECH\)；

\((2)\)设\(BE=x\)，\(CH=y\)，求\(y\)与\(x\)的函数关系式，并求当\(x\)取何值时，\(y\)有最大值，最大值是多少？

\((3)\)当点\(E\)运动到何处时，\(\triangle ABE\)是等腰三角形，并求出此时\(CH\) 的长。

在正方形\(ABCD\)中，点\(O\)为对角线\(AC\)的中点，点\(P\)在直线\(AC\)上\((\)不与点\(O\)重合\()\)，连接\(BP\)，分别作\(AE⊥BP\)，\(CF⊥BP\)，垂足分别为点\(E\)、点\(F\)．

\((1)\)求证：\(\triangle ABE\)≌\(\triangle BCF;\)

\((2)\)连接\(OE\)，\(OF\)，判断\(\triangle OEF\)的形状，并证明你的结论．

如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，\(A\)\((-3,0)\)，\(B\)\((2,0)\)，\(C\)为\(y\)轴正半轴上一点，且\(∠\)\(OBC=\)\(60^{\circ}.\)点\(P\)从点\(A\)出发，沿射线\(AB\)方向运动，同时点\(Q\)在边\(BC\)上从点\(B\)向点\(C\)运动．

\((1)\)在运动过程中，若点\(P\)的速度为每秒\(2\)个单位长度，点\(Q\)的速度为每秒\(1\)个单位长度，运动时间为\(t\)秒\(.\)已知\(\triangle \)\(PQB\)是直角三角形，求\(t\)的值；

\((2)\)在运动过程中，若点\(P\)，\(Q\)的运动路程分别是\(a\)，\(b\)，当\(\triangle \)\(PQB\)是等腰三角形时，求\(a\)与\(b\)满足的数量关系．

如图，在\(\triangle \)\(ABC\)中，\(AC\)\(=\)\(BC\)，\(∠\)\(ACB\)\(=90^{\circ}\)，\(AE\)平分\(∠\)\(BAC\)交\(BC\)于\(E\)，\(BD\)\(⊥\)\(AE\)交\(AE\)延长线于\(D\)，\(DM\)\(⊥\)\(AC\)交\(AC\)的延长线于\(M\)，连接\(CD\)，以下四个结论：\(①∠\)\(ADC\)\(=45^{\circ}\)；\(②\)\(BD\)\(= \dfrac{1}{2}\)\(AE\)；\(③\)\(AC\)\(+\)\(CE\)\(=\)\(AB\)；\(④\)\(AC\)\(+\)\(AB\)\(=2\)\(AM\)\(.\)其中正确的结论有(    )

如图，在\(\triangle ABC\)中，点\(D\)在\(AB\)上，且\(CD=CB\)，点\(E\)为\(BD\)的中点，点\(F\)为\(AC\)的中点，连结\(EF\)交\(CD\)于点\(M\)，连接\(AM\)．

\((1)\)求证：\(AC =2EF\)．

\((2)\)若\(∠BAC=45^{\circ}\)，求线段\(AM\)、\(DM\)、\(BC\)之间的数量关系．