知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

2．按要求解方程
（1）2(x+1)2-
9
2
=0（直接开平方法）
（2）4x-1=2x²（配方法）
（3）x2-4
3
x+10=0（公式法）
（4）分解因式法（提公因式；平方差、完全平方公式；十字相乘）
    ①4x（2x+1）=3（2x+1）
    ②（x+1）²=（2x-1）²
    ③x²-2x-3=0
（5）换元法
    ①（2x+1）²-3（2x+1）-28=0
    ②x2+
1
x2
-2(x+
1
x
)-1=0．

难度：中等

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3．若实数a、b满足（a+b）（2a+2b-1）-1=0，则a+b=（　　）

A．1

B．-

C．1或-

D．2

难度：中等

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4．阅读材料，解答问题．
解方程：（4x-1）²-10（4x-1）+24=0
解：把4x-1视为一个整体，设4x-1=y，
则原方程可化为：y²-10y+24=0
解得：y₁=6，y₂=4
∴4x-1=6 或4x-1=4
∴x₁=
7
4
，x₂=
5
4

以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照上例，请用换元法解答问题：
已知（x²+y²+1）（x²+y²-3）=5，求x²+y²的值．

难度：中等

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5．阅读新知：移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程称作双二次方程．其一般形式为ax⁴+bx²+c=0（a≠0），一般通过换元法解之，具体解法是设 x²=y，则原四次方程化为一元二次方程：ay²+by+c=0，解出y之后代入x²=y，从而求出x的值．例如解：4x⁴-8y²+3=0
解：设x²=y，则原方程可化为：4y²-8y+3=0
∵a=4，b=-8，c=3
∴b²-4ac=-（-8）²-4×4×3=16＞0
∴y=
-(-8)±
16
2×4
=
8±4
8

∴y₁=
1
2
，
∴y₂=
3
2

∴当y₁=
1
2
时，x²=
1
2

∴x₁=
2
2
，x₂=-
2
2
；当y₁=
3
2
时，x²=
3
2

∴x₃=
6
2
，x₄=-
6
2

小试牛刀：请你解双二次方程：x⁴-2x²-8=0
归纳提高：思考以上解题方法，试判断双二次方程的根的情况，下列说法正确的是（选出所有的正确答案）
①当b²-4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b²-4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③当b²-4ac≥0，并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时，原方程有4个实数根，换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时，原方程有2个实数根；④原方程无实数根时，一定有b²-4ac＜0．

难度：较难

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6．已知（m²+n²）²-2（m²+n²）-3=0，则m²+n²=（　　）

A．-1或3

B．3

C．-1

D．无法确定

难度：较难

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7．阅读下面的材料：
解方程x⁴-7x²+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x²=y，则x⁴=y²，∴原方程可化为：y²-7y+12=0，解得y₁=3，y₂=4，当y=3时，x²=3，x=±
3
，当y=4时，x²=4，x=±2．∴原方程有四个根是：x₁=
3
，x₂=-
3
，x₃=2，x₄=-2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程：（x²+x）²-5（x²+x）+4=0；
（2）已知实数a，b满足（a²+b²）²-3（a²+b²）-10=0，试求a²+b²的值．

难度：中等

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8．已知（a²+b²-10）（a²+b²）+25=0，且a-b=1，求a+b的值．

难度：中等

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9．阅读材料，回答问题：
为解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我们可以将x²-1看作一个整体，然后设x²-1=y，则（x²-1）²=y²①，则原方程可化为y²-5y+4=0，解得y₁=1，y₂=4．
当y=1时，x²-1=1，∴x²=2，∴x=±
2
；
当y=4时，x²-1=4，∴x²=5，∴x=±
5
．
解答问题：
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用了换元法，达到了的目的，体现了转化的数学思想．
（2）依据此法解方程：（6x²-7x）²-2（6x²-7x）-3=0．

难度：中等

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10．若9（x-2）²-6（x-2）+1=0，则x-2= ．

难度：较易

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