在平面直角坐标系\(xOy\)中，抛物线\(y={{x}^{2}}-(3m+1)x+2{{m}^{2}}+m(m\succ 0)\)，与\(y\)轴交于点\(C\)，与\(x\)轴交于点\(A({{x}_{1}},0)\)，\(B({{x}_{2}},0)\)，且\({{x}_{1}}\prec {{x}_{2}}\)．

\((1)\)求\(2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}+3\)的值；

\((2)\)当\(m=2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}+3\)时，将此抛物线沿对称轴向上平移\(n\)个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在\(\triangle ABC\)的内部\((\)不包括\(\triangle ABC\)的边\()\)，求\(n\)的取值范围\((\)直接写出答案即可\()\)．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，过\(y\)轴上一点\(A\)作平行于\(x\)轴的直线交某函数图象于点\(D\)，点\(P\)是\(x\)轴上一动点，连接\(DP\)，过点\(P\)作\(DP\)的垂线交\(y\)轴于点\(E(E\)在线段\(OA\)上，\(E\)不与点\(O\)重合\()\)，则称\(\angle DPE\)为点\(D\)，\(P\)，\(E\)的“平横纵直角”\(.\)图\(1\)为点\(D\)，\(P\)，\(E\)的“平横纵直角”的示意图\(.\)  如图\(2\)，在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知二次函数图象与\(y\)轴交于点\(F(0,m)\)，与\(x\)轴分别交于点\(B(-3,0)\)，\(C(12,0).\) 若过点\(F\)作平行于\(x\)轴的直线交抛物线于点\(N\)．

\((1)\)点\(N\)的横坐标为___________；

\((2)\)已知一直角为点\(N,M,K\)的“平横纵直角”，若在线段\(OC\)上存在不同的两点\({{M}_{1}}\)、\({{M}_{2}}\)，使相应的点\({{K}_{1}}\)、\({{K}_{2}}\)都与点\(F\)重合，试求\(m\)的取值范围；                                                                                                               

\((3)\)设抛物线的顶点为点\(Q\)，连接\(BQ\)与\(FN\)交于点\(H\)，当\(45{}^\circ \leqslant \angle QHN\leqslant 60{}^\circ \)时，求\(m\)的取值范围．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，将抛物线\({G}_{1}:y=m{x}^{2}+2 \sqrt{3} (m\ne 0)\)向右平移\(\sqrt{3}\)个单位长度后得到抛物线\({{G}_{2}}\)，点\(A\)是抛物线\({{G}_{2}}\)的顶点．

   \((1)\)直接写出点\(A\)的坐标；

   \((2)\)过点\(\left(0, \sqrt{3}\right) \)且平行于\(x\)轴的直线\(l\)与抛物线\({{G}_{2}}\)交于\(B\)，\(C\)两点．

    \(①\)当\(\angle BAC{=}90{}^\circ \)时，求抛物线\({{G}_{2}}\)的表达式；

    \(②\)若\(60{}^\circ < \angle BAC < 120{}^\circ \)，直接写出\(m\)的取值范围．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，若抛物线\(y={{x}^{2}}+bx+c\,\)顶点\(A\)的横坐标是\(-1\)，且与\(y\)轴交于点\(B(0,-1)\)，点\(P\)为抛物线上一点．

\((1)\)求抛物线的表达式；

 \((2)\)若将抛物线\(y={{x}^{2}}+bx+c\,\)向下平移\(4\)个单位，点\(P\)平移后的对应点为\(Q.\)如果\(OP=OQ\)，求点\(Q\)的坐标．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，抛物线\(y=ax^{2}-4ax+3a(a > 0)\)与\(x\)轴交于\(A\)，\(B\)两点\((A\)在\(B\)的左侧\()\)．

\((1)\)求抛物线的对称轴及点\(A\)，\(B\)的坐标；

\((2)\)点\(C(t,3)\)是抛物线\(y=a{{x}^{2}}-4ax+3a(a > 0)\)上一点，\((\)点\(C\)在对称轴的右侧\()\)，过点\(C\)作\(x\)轴的垂线，垂足为点\(D\)．

\(①\)当\(CD=AD\)时，求此时抛物线的表达式；

\(②\)当\(CD > AD\)时，求\(t\)的取值范围．