如图， 在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，\(AC= BC\)，将\(Rt\triangle ABC\)绕点\(A\)逆时针旋转\(15^{\circ}\)得到\(Rt\triangle AB{{{'}}}C{{{'}}}\)，\(B{{{'}}}C{{{'}}}\)交\(AB\)于\(E\)，若图中阴影部分面积为\(2\sqrt{3}\)，则\(B{{{'}}}E\)的长为 _____________ \(.\)  \(..\)

如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，点\(D\)，点\(E\)分别是\(BC\)，\(AC\)上一点，且\(DE⊥AD.\) 若\(∠BAD=55^{\circ}\)，\(∠B=50^{\circ}\)，求\(∠DEC\)的度数．

已知：如图，在\(\triangle OAB\)中，\(OA=OB\)，\(⊙O\)经过\(AB\)的中点\(C\)，与\(OB\)交于点\(D\)，且与\(BO\)的延长线交于点\(E\)，连接\(EC\)，\(CD\)．

\((1)\)试判断\(AB\)与\(⊙O\)的位置关系，并加以证明；

\((2)\)若\(\tan E=\dfrac{1}{2}\)，\(⊙O\)的半径为\(3\)，求\(OA\)的长．

如图，在等腰直角\(\triangle ABC\)中，\(∠CAB=90^{\circ}\)，\(F\)是\(AB\)边上一点，作射线\(CF\)，过点\(B\)作\(BG⊥CF\)于点\(G\)，连接\(AG\)．

\((1)\)求证：\(∠ABG=∠ACF\)；

\((2)\)用等式表示线段\(CG\)，\(AG\)，\(BG\)之间的等量关系，并证明．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，将抛物线\({G}_{1}:y=m{x}^{2}+2 \sqrt{3} (m\ne 0)\)向右平移\(\sqrt{3}\)个单位长度后得到抛物线\({{G}_{2}}\)，点\(A\)是抛物线\({{G}_{2}}\)的顶点．

   \((1)\)直接写出点\(A\)的坐标；

   \((2)\)过点\(\left(0, \sqrt{3}\right) \)且平行于\(x\)轴的直线\(l\)与抛物线\({{G}_{2}}\)交于\(B\)，\(C\)两点．

    \(①\)当\(\angle BAC{=}90{}^\circ \)时，求抛物线\({{G}_{2}}\)的表达式；

    \(②\)若\(60{}^\circ < \angle BAC < 120{}^\circ \)，直接写出\(m\)的取值范围．

如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，点\(D\)是\(BC\)边上一点，\(EF\)垂直平分\(CD\)，交\(AC\)于点\(E\)，交\(BC\)于点\(F\)，连结\(DE\)，求证：\(DE/\!/AB\)．

在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，\(CD⊥BC\)于点\(C\)，交\(∠ABC\)的平分线于点\(D\)，\(AE\)平分\(∠BAC\)交\(BD\)于点\(E\)，过点\(E\)作\(EF/\!/BC\)交\(AC\)于点\(F\)，连接\(DF\)．

\((1)\)补全图\(1\)；

\((2)\)如图\(1\)，当\(∠BAC=90^{\circ}\)时，

\(①\)求证：\(BE=DE\)；

\(②\)写出判断\(DF\)与\(AB\)的位置关系的思路\((\)不用写出证明过程\()\)；

\((3)\)如图\(2\)，当\(∠BAC=α\)时，直接写出\(α\)，\(DF\)，\(AE\)的关系．