知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，C为角平分线上一点，过点C作CD⊥OC，垂足为C，交OB于点D，CE∥OA交OB于点E．
（1）判断△CED的形状，并说明理由；
（2）若OC=3，求CD的长．

难度：较易

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2．已知\(∠MON\)，\(OA\)平分\(∠MON\)．
\((1)\)在图\(1\)中，若\(∠MON=120^{\circ}\)，\(∠ABO=∠ACO=90^{\circ}\)，求证：\(OB+OC=OA\)；
\((2)\)在图\(2\)中，若\(∠MON=120^{\circ}\)，\(∠ABO+∠ACO=180^{\circ}\)，则\((1)\)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
\((3)\)在图\(3\)中，若\(∠MON=120^{\circ}\)，\(∠ABC=60^{\circ}\)，试判断\(\triangle ABC\)的形状，并说明理由．

难度：较难

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3．

如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(∠A=30^{\circ}\)，点\(D\)在\(AB\)上，以\(BD\)为直径的\(⊙O\)切\(AC\)于点\(E\)，连接\(DE\)并延长，交\(BC\)的延长线于点\(F\)．

\((1)\)求证：\(\triangle BDF\)是等边三角形；

\((2)\)连接\(AF\)、\(DC\)，若\(BC=3\)，写出求四边形\(AFCD\)面积的思路．

难度：中等

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4．

如图，在等边三角形\(ABC\)中，点\(D\)，\(E\)分别在边\(BC\)，\(AC\)上，且\(DE/\!/AB\)，过点\(E\)作\(EF⊥DE\)，交\(BC\)的延长线于点\(F\)．

\((1)\)求\(∠F\)的度数；

\((2)\)若\(C\)是\(DF\)的中点，\(DE=2\)，求\(CF\)的长．

难度：较易

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5．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于点C，BC和AD的延长线相交于点E，且AD⊥PD．
（1）求证：AB=AE；
（2）当AB：BP为何值时，△ABE为等边三角形并说明理由．

难度：较易

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6．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）图中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．

难度：中等

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7．如图：三角形ABC内接于圆O，∠BAC与∠ABC的角平分线AE，BE相交于点E，延长AE交外接圆O于点D，连接BD，DC，且∠BCA=60°
（1）求∠BED的大小；
（2）证明：△BED为等边三角形；
（3）若∠ADC=30°，圆O的半径为r，求等边三角形BED的边长．

难度：较易

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8．点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点．
（1）如图1，以BD、BE为边分别作正△BMD和正△BEN，连结MF、FN、MN．求证：△FMN是等边三角形．
（2）如图2，以BD、BE为边分别作正方形BPMD和正方形BQNE，连结MF、NF、MN，求∠MFN的度数．

难度：较难

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9．若已知关于x的方程（x-2）（x²-4x+m）=0有三个实根．
（1）试求m的取值围；
（2）若这三个实根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，求此时m的取值范围．
（3）若这三个实根作成的三角形是等腰三角形，求m值及三角形的面积．

难度：中等

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10．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于C，AD⊥PD，CM⊥AB，垂足分别为D，M．
（1）求证：CB平分∠PCM；
（2）若∠CBA=60°，求证：△ADM为等边三角形；
（3）若PO=5，PC=a，⊙O的半径为r，且a，r是关于x的方程x²-（2m+1）x+4m=0的两根，求m的值．

难度：难

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