知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为D（1，4），交x轴于A、B两点，且经过点C（2，3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，M为线段O、B之间一动点，N为y轴正半轴上一动点，是否存在使M、C、D、N四点围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及M、N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若P是y轴上的点，Q是抛物线上的点，求：以P、Q、A、B为顶点构成平行四边形的点Q的坐标．

难度：中等

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2．（2016•宜宾县校级模拟）将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标．

难度：中等

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3．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=-x²+bx+a与x轴相交于点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相较于点C，直线y=kx-3k经过点B、C两点，且△BOC为等腰直角三角形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点C作直线l∥x轴，P为直线l上方抛物线上一点，连接PB，PB与直线l相交于点D，将线段BD绕点B逆时针旋转90°后得到线段BE，过点E作BC的平行线，它与直线l相交于点F，连接PF，设点P的横坐标为t，△PDF的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，N为PB中点，Q为线段DF上一点，连接PC、QB、QN，当△PCF的面积与△BCD的面积相等，且QN平分∠BQD时，求点Q的坐标．

难度：较难

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4．如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，6），连结OA，动点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿OA向终点A运动．以P为顶点的抛物线y=（x-h）²+k与y轴交于点B，过点B作BC∥x轴交抛物线于另一点C，动点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AO向终点O运动，以Q为顶点，作边长为4的正方形QDEF．使得DQ∥x轴，且点D在点Q左侧，点F在点Q的下方．点P、Q同时出发，设运动时间为t．
（1）用含有t的代数式表示点P的坐标（，）
（2）当四边形BCFE为平行四边形时，求t的值．
（3）当点C落在线段DE或QF上时，求t的值．
（4）如图②，以OB、BC为邻边作矩形OBCG，当点Q在矩形OBCG内部时，设矩形OBCG与正方形QDEF重叠部分图形的周长为l，求l与t之间的函数关系式．

难度：较难

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5．（2016•张家港市校级模拟）如图，直线y=
1
2
x+1与抛物线y=
1
2
x²-bx+l交于不同的两点M、N（点M在点N的左侧）．
（1）直接写出N的坐标（用b的代数式表示）
（2）设抛物线的顶点为B，对称轴l与直线y=
1
2
x+1的交点为C，连结BM、BN，若S_△MBC=
2
3
S_△NBC，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，已知点P（t，0）为x轴上的一个动点，
①若∠MPN=90°时，求点P的坐标．
②若∠MPN＞90°时，则t的取值范围是．
（4）在（2）的条件下，已知点Q是直线MN下方的抛物线上的一点，问Q点是否存在在合适的位置，使得它到MN的距离最大？存在的话求出Q的坐标，不存在什么理由．

难度：中等

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6．（2016•黄埔区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，E是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式，并在-4≤x≤2范围内画出此抛物线的草图；
（2）若点F和点D关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O、F、P、Q为顶点的平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．（2016•青羊区模拟）已知抛物线y=
1
a
x2+(
2
a
-1)x-2（a＞0）与x轴交于A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．
（1）若抛物线过点D（2，-2），求实数a的值．
（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点E，使AE+CE最小，求出点E的坐标．
（3）在第一象限内，抛物线上是否存在点M，使得以A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过点A（-1，0）和点B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）若点P在直线x=2上运动，当点P到直线AD的距离d等于点P到x轴的距离时，求d得值；
（3）如图2，直线AC：y=-x+m经过点A，交y轴于点C．探究：在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使得S_△CDA=2S_△ACM？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．（2016•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-1）²+k（a＜0）与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-2，0），经过点A的直线与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另个一交点为D，且CD=3AC．
（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）求k与a的关系；
（3）求点D的纵坐标（用含a的代数式表示）；
（4）以AD为边作等腰直角三角形ADP，当点P在抛物线的对称轴上时，直接写出a的值．

难度：中等

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10．将抛物线y=x²-1向左平移2个单位得到抛物线C₁，抛物线C₁与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其顶点为M．
（1）求A，B，M点的坐标；
（2）将图1中△AOC沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△AMC重叠的面积记为s，用m的代数式表示s．
（3）如图2，设S（-2，0），过点S任作直线EF交抛物线C₁于E，F两点，点P为EF的中点，求证：PF=PM．

难度：较易

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