知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•苏州期末）如图，在平面直角坐标系中，△A0B是边长为3的等边三角形，直线l与x轴、0A、AB分别交于点C、D、E，0C=AE．过点E作EF∥0A，交x轴于点F．
（1）点A的坐标为：；（结果保留根号）
（2）求证：点C、F关于y轴对称；
（3）若AD=EF．求直线l对应的函数表达式．

难度：中等

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2．（2015秋•江东区期末）如图，△OAB是等边三角形，过点A的直线l：y=-
3
3
x+m与x轴交于点E（4，0）
（1）求m的值及△OAB的边长；
（2）在线段AE上是否存在点P，使得△PAB的面积是△OAB面积的一半？若存在，试求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在直线AE上是否存在点M，使得MA=MB？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3．（2015秋•李沧区期末）阅读材料
通过前面的学习我们已经知道了两点之间的距离，点到直线的距离和两条平行线间的距离，那么我们如何在平面直角坐标系中求这些距离呢？
如图1，在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐标分为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由勾股定理得AB₂=|x₁-x₂|²+|y₁-y₂|²，所以A、B两点间的距离为AB=
|x1-x2|2+|y1-y2|2
．这样就可以求出平面直角坐标系中任意两点间的距离．
我们用下面的公式可以求出平面直角坐标系中任意一点到某条直线的距离：
已知点P（x₀，y₀）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式d=
|kx0-y0+b|
1+k2

计算：例如：求点P（-2，1）到直线y=x+1的距离．
解：因为直线y=x+1可变形为x-y+1=0，其中k=1，b=1．
所以点P（-2，1）到直线y=x+1的距离了为d=
|kx0-y0+b|
1+k2
=
|1×(-2)-1+1|
1+12
=
2
2
=
2
．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）已知A（-2，1），B（4，3），求线段AB的长度；
（2）点P（1，1）到直线y=3x-2的距离，并说明点P与直线的位置关系；
（3）点P（2，-1）到直线y=2x-1的距离；
（4）已知直线y=-x+1与y=-x+3平行，求这两条直线的距离．

难度：中等

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4．（2014秋•双流县期末）如图所示，已知点F的坐标为（3，0），点A，B分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点．设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5-
3
5
x（0≤x≤5），则下列结论：
①AF=2；
②S_△POF的最大值是6；
③当d=
16
5
时，OP=
12
5
5
；
④OA=5．
其中正确的有    （填序号）．

难度：中等

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5．已知直线L₂：y=-3x+24，直线L₁：y=
1
2
x+3，交于点C，直线L₁和直线L₂分别交x轴于B、A，过点A作AD⊥x轴并交L₁于D，过点D作DE∥x轴并交L₂于E，再过E作x轴垂线，垂足为F，得到矩形GDEF（G与A重合）
（1）求△ABC的面积；
（2）求矩形GDEF的边DE和EF的长；
（3）若将矩形GDEF沿x轴的负方向以每秒一个单位长度的速度平移，设移动时间为t（s）（0≤t≤14），求矩形GDEF平移过程中，矩形GDEF与△ABC公共部分的面积S与矩形运动时间t（秒）之间的函数关系，并写出相应的t的范围．

难度：较易

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6．某超市准备购进A、B两种品牌台灯，其中A品牌台灯每盏进价比B品牌台灯每盏进价贵30元，A品牌台灯每盏售价120元，B品牌台灯每盏售价80元．已知，用1040元购进的A品牌台灯的数量与用650元购进的B品牌台灯数量相同．
（1）求A、B两种品牌台灯的进价分别是多少元？
（2）该超市打算购进A、B两种品牌台灯共100盏，同时要求A、B两种品牌台灯的总利润不得少于3400元，不得多于3550元，问该超市有几种进货方案？
（3）在（2）的所有进货方案中，该超市决定对A品牌台灯进行降价促销，A品牌台灯每盏降价m（8‹m‹15）元，B品牌台灯售价不变，那么该超市如何进货才能获得最大利润？

难度：较难

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7．如图，长方形OABC在平面直角坐标系内（O为坐标原点），点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（-2，2
3
），点E是BC的中点，点H在OA上，且AH=
1
2
，过点H且平行于y轴的HG与EB交于点G，现将长方形折叠，使顶点C落在HG上，并与HG上的点D重合，折痕为EF，且折痕交y轴于点F．试求：
（1）∠CEF的度数和点D的坐标；
（2）折痕EF所在直线的函数解析式；
（3）在y轴上是否存在点M使得S_△EFD=S_△EFM？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点P在直线EF上，当△PFD为等腰三角形时，试问满足条件的点P有几个，请求出点P的坐标（不必写出解答过程）．

难度：中等

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8．（2012秋•市北区期末）如图，矩形OABC在平面直角坐标系内（O为坐标原点），点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（-4，6），点E是BC的中点，点H在OA上，且AH=1，过点H且平行于y轴的HG与EB交于点G，现将矩形折叠，使顶点C落在HG上，并与HG上的点D重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点．CF=2
3
．
（1）求点E和点D的坐标；
（2）求折痕EF所在直线的函数关系式；
（3）连接HC，求直线HC与EF的交点坐标．
（提示：
1
2+
3
=
2-
3
(2+
3
)(2-
3
)
=2-
3
）

难度：中等

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