知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．解方程：x²+2x-
6
x2+2x
=1．

难度：中等

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2．在分式方程
2x+1
x2
+
2x2
2x+1
=1中，令y=
2x+1
x2
，则原方程可化为关于y的方程是．

难度：较易

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3．解方程x⁴-6x²+5=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们通常可以这样来解：设x²=y，那么x⁴=y²，于是原方程可变为y²-6y+5=0…①，解这个方程得：y₁=1，y₂=5．当y=1时，x²=1，∴x=±1；当y=5时，x²=5，∴x=±
5
．所以原方程有四个根：x₁=1，x₂=-1，x₃=
5
，x₄=-
5
．
（1）这一解法在由原方程得到方程①的过程中，利用了法达到降次的目的，体现了的数学思想．
（2）参照上面解题的思想方法解方程：（
x
x2-1
）²-
5x
x2-1
+6=0．

难度：中等

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4．阅读理解题：一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面一段对话，请你阅读完后再解答下面问题
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（x²-x）²-8（x²-x）+12=0
学生甲：老师，先去括号，再合并同类项，行吗？
老师：这样，原方程可整理为x⁴-2x³-7x²+8x+12=0，次数变成了4次，用现有的知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？
学生乙：我发现方程中x²-x是整体出现的，最好不要去括号！
老师：很好．如果我们把x²-x看成一个整体，用y来表示，那么原方程就变成y²-8y+12=0
全体同学：咦，这不是我们学过的一元二次方程吗？
老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y²-8y+12=0的解是y₁=6，y₂=2，就有x²-x=6或x²-x=2
学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x₁=3，x₂=-2，x₃=2，x₄=-1，嗬，有这么多根啊
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里，使用它最大的妙处在于降低了原方程的次数，这是一种很重要的转化方法
全体同学：OK！换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程（
x
x-1
）²-5（
x
x-1
）-6=0．

难度：中等

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5．解方程：
（1）（
x
x+1
）²+5（
x
x+1
）+6=0
（2）
x2-3
x
+
3x
x2-3
=
13
2
．

难度：中等

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6．解方程：
18
x2-x
=x²-x-3．

难度：中等

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7．解方程：
9
x2
+
x2
4
-2（
3
x
+
x
2
）=0．

难度：中等

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8．已知实数x满足x²+
1
x2
-3x-
3
x
-8=0，求x+
1
x
的值．

难度：中等

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9．解方程x⁴-6x²+5=0这是一个一元四次方程，通常解法：设x²=y，那么x⁴=y²，于是原方程可变为y²-6y+5=0，解得：y₁=1，y₂=5．当y=1时，x²=1，∴x=±1；当y=5时，x²=5，∴x=±
5
．所以原方程有四个根：x₁=1，x₂=-1，x₃=
5
，x₄=-
5
．仿照上例对方程x²+
1
x2
-3（x+
1
x
）+2=0进行转化，求代数式x+
1
x
的值．

难度：中等

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10．用换元法解分式方程：x²+2x+
2
x2+2x+1
=2．若设x²+2x=y，则原方程可化为．

难度：较易

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