请尝试解决以下问题:
\((1)\)如图\(1\),在正方形\(ABCD\)中,点\(E\),\(F\)分别为\(DC\),\(BC\)边上的点,且满足\(∠EAF=45^{\circ}\),连接\(EF\),求证\(DE+BF=EF\).
感悟解题方法,并完成下列填空:
将\(\triangle ADE\)绕点\(A\)顺时针旋转\(90^{\circ}\)得到\(\triangle ABG\),此时\(AB\)与\(AD\)重合,由旋转可得:
\(AB=AD\),\(BG=DE\),\(∠1=∠2\),\(∠ABG=∠D=90^{\circ}\),
\(∴∠ABG+∠ABF=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}\),
因此,点\(G\),\(B\),\(F\)在同一条直线上.
\(∵∠EAF=45^{\circ}∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}\).
\(∵∠1=∠2\),\(∴∠1+∠3=45^{\circ}\).
即\(∠GAF=∠\) ______ .
又\(AG=AE\),\(AF=AF\)
\(∴\triangle GAF\)≌ ______ .
\(∴\) ______ \(=EF\),故DE\(+BF=EF\).
\((2)\)运用\((1)\)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图\(2\),在直角梯形\(ABCD\)中,\(AD/\!/BC(AD > BC)\),\(∠D=90^{\circ}\),\(AD=CD=10\),\(E\)是\(CD\)上一点,且\(∠BAE=45^{\circ}\),\(DE=4\),求\(BE\)的长.
\((3)\)类比\((1)\)证明思想完成下列问题:在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形\(ABC\)和\(AFG\)摆放在一起,\(A\)为公共顶点,\(∠BAC=∠AGF=90^{\circ}\),若\(\triangle ABC\)固定不动,\(\triangle AFG\)绕点\(A\)旋转,\(AF\)、\(AG\)与边\(BC\)的交点分别为\(D\)、\(E(\)点\(D\)不与点\(B\)重合,点\(E\)不与点\(C\)重合\()\),在旋转过程中,等式\(BD^{2}+CE^{2}=DE^{2}\)始终成立,请说明理由.