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          共50条信息

            • 1． 在△ABC中，AB=AC，D为射线BC上一点，DB=DA，E为射线AD上一点，且AE=CD，连接BE．
              （1）如图1，若∠ADB=120°，AC=
              		3
              ，求DE的长；
              （2）如图2，若BE=2CD，连接CE并延长，交AB于点F，求证：CE=2EF；
              （3）如图3，若BE⊥AD，垂足为点E，求证：AE2+
              1
              4
              BE2=
              1
              4
              AD2              ．
              难度：中等
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            • 2． 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
              特例探索
              （1）①如图1，当∠ABE=45°，c=2
              		2
              时，a=    ，b=    ；
              ②如图2，当∠ABE=30°，c=4时，求a和b的值
              归纳证明
              （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
              难度：中等
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            • 3． 如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．
              （1）如果∠A=80°，求∠BPC的度数；
              （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
              （3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
              难度：中等
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            • 4． 如图，在平面直角坐标系中，AC⊥BC于点C，且点C在y的正半轴上，点A和点B分别在x的负半轴和正半轴，AC=BC，AB=8．
              （1）求点C的坐标；
              （2）点D从点C出发以1个单位/秒的速度向y的负半轴方向运动，同时点G从点B出发以1个单位/秒的速度向x轴的正方向运动，连接DG交直线BC于点F．设D、G两点运动时间为t秒，△DOF的面积为s，请用t的式子表示s，并直接写出t的取值范围；
              （3）在（2）的条件下，过点F作FP⊥DF，过点C作x轴的平行线交FP于点P，连接AD，是否存在t，使△CPF的面积等于△AOD面积的2倍？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
              难度：中等
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            • 5． 在△ABC中，AC=BC，D是边AB上一点，E是线段CD上一点，且∠AED=∠ACB=2∠BED．
              （1）如图1，若∠BED=45°，点E是CD的中点，AD=2，求线段BD的长度；
              （2）如图1，若∠ACB=90°，求证：AE=
              		2
              BE；
              （3）如图2，若∠ACB=60°，猜想AE与BE的数量关系，并证明你的结论．
              难度：中等
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            • 6． （2013秋•奉贤区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，P是射线AB上的一个动点，PQ⊥PC，交线段CB的延长线于点Q．
              （1）当BP=BC时，求证：BQ=BP；
              （2）当点P在边AB上且∠A=30°时，设BP=x，BQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
              （3）当∠A=30°，且BP=
              5
              2
              时，请直接写出BQ的长．
              难度：中等
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            • 7． 如图1，A、B分别为x、y轴上的点，O为坐标原点，设OA=a，OB=b，AB=c，
              （1）若正数a、b、c满足a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0，且OP⊥AB于P，求OP的长；
              （2）如图2，若P为线段AB的中点，试探究线段OP与AB间的数量关系，并说明理由．
              （3）如图3，若P是线段AB上一动点（不与A、B点重合），在射线OP上取一点E，使AE=a，此时∠AOE=∠AEO．在第一象限内，过E作AE的垂线，并截取ED=b，连AD、BD，BD交射线OP于F点．当P点运动时，
              BF
              FD
              的值不变，请说明理由，并求这个不变的值．
              难度：中等
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            • 8． 如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，sin∠ABC=
              12
              13
              ．
              填空：（1）如图1，AH⊥BC于点H，则AH=    ，AC=    ，△ABC的面积S△ABC=    ；
              探究：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE+CF=y（当点D与点A重合时，我们认为S△ABC=0）
              （2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
              （3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，这样的x的取值范围是    ．
              拓展：（4）请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），则这条直线是    ，此时最小值是    ．
              难度：较易
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            • 9． 操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角形的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．
              研究：
              （1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明．
              （2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．
              （3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图④加以证明．
              难度：中等
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            • 10． 已知等腰直角△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P，Q分别从A．C两点同时出发，均以1cm/s的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
              （1）求出S关于t的函数关系式．
              （2）当点P在线段AB上时，点P运动几秒时，S△PCQ=
              1
              4
              S△ABC？
              （3）作PE⊥AC于点E，当点P．Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
              难度：中等
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