知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，△ABC边AB上点D、E（不与点A、B重合），满足∠DCE=∠ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4；
（1）当CD⊥AB时，求线段BE的长；
（2）当△CDE是等腰三角形时，求线段AD的长；
（3）设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

难度：较难

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2．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=
1
3
，求sin2α的值．
小娟是这样给小芸讲解的：
如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°．设∠BAC=α，则sinα=
BC
AB
=
1
3
．易得∠BOC=2α．设BC=x，则AB=3x，则AC=2
2
x．作CD⊥AB于D，求出CD= （用含x的式子表示），可求得sin2α=
CD
OC
= ．
【问题解决】已知，如图2，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ=
3
5
，求sin2β的值．

难度：较难

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3．平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，G点为BC边上一点，连结DG，E点在BC边所在直线上，过E点作EF∥CD交GD于F点．
（1）如图1，若G为BC边中点，EF交GD延长线于F点，tanA=
1
2
，CE=CG，DG=
5
，求EF；
（2）如图2，若E点在BC边上，G为BE中点，且GD平分∠BDC，求证：
2
DB=2FG+DF；
（3）如图3，若E点在BC延长线上，G为BE中点，且∠GDC=30°，问（2）中结论还成立吗？若不成立，那么线段DB、FG、DF满足怎样的数量关系，请直接写出结论．

难度：较难

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4．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AC上一点，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，点F是AB垂直平分线上一点，连接BF、EF．
（1）若AD=6
2
，tan∠BCE=
3
10
，求AB的长；
（2）如图1，当点F在AC边上时，求证：CE-BE=
2
EF；
（3）如图2，若∠BDC=75°，当∠AFB=30°时，直接写出（
EF
EC
）²的值．

难度：较难

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5．如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G，如图①．
（1）求CD的长及∠1的度数；
（2）设DE=x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？
（3）当点G刚好落在线段BC上时，如图②，若此时将所得到的△EFG沿直线CB向左平移，速度为每秒1个单位，当E点移动到线段AB上时运动停止．设平移时间为t（秒），在平移过程中是否存在某一时刻t，使得△ABE为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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6．如图，⊙O₁、⊙O₂相交于P、Q两点，其中⊙O₁的半径r₁=2，⊙O₂的半径r₂=
2
．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O₁和⊙O₂于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O₁和⊙O₂于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E．
（1）求证：
PA
PB
=
2
；
（2）若PQ=2，试求∠E度数．

难度：难

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7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC边为直径的⊙O交AB于点D，连接OD并延长交CA的延长线于点E，过点D作DF⊥OE交EC于点F．
（1）求证：AF=CF．
（2）若ED=2，sin∠E=
3
5
，求AD的长．

难度：难

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8．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：

sin²A₁+sin²B₁= ；sin²A₂+sin²B₂= ；sin²A₃+sin²B₃= ．
（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin²A+sin²B= ．
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=
5
13
，求sinB．

难度：中等

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