知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，菱形$OABC$的一边$OA$在$x$轴的负半轴上，$O$是坐标原点，$\tan ∠AOC= \dfrac {4}{3}$，反比例函数$y= \dfrac {k}{x}$的图象经过点$C$，与$AB$交于点$D$，若$\triangle COD$的面积为$20$，则$k$的值等于 ______ ．

难度：难

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2．
如图，$\triangle ABC$中，$∠BAC=60^{\circ}$，$∠ABC=45^{\circ}$，$AB=2 \sqrt {2}$，$D$是线段$BC$上的一个动点，以$AD$为直径画$⊙O$分别交$AB$，$AC$于$E$，$F$，连接$EF$，则线段$EF$长度的最小值为 ______ ．

难度：难

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3．
如图$①$，在$\triangle ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$∠B=30^{\circ}$，$AC=1$，$D$为$AB$的中点，$EF$为$\triangle ACD$的中位线，四边形$EFGH$为$\triangle ACD$的内接矩形$($矩形的四个顶点均在$\triangle ACD$的边上$)$．
$(1)$计算矩形$EFGH$的面积；
$(2)$将矩形$EFGH$沿$AB$向右平移，$F$落在$BC$上时停止移动$.$在平移过程中，当矩形与$\triangle CBD$重叠部分的面积为$ \dfrac { \sqrt {3}}{16}$时，求矩形平移的距离；
$(3)$如图$③$，将$(2)$中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形$E_{1}F_{1}G_{1}H_{1}$，将矩形$E_{1}F_{1}G_{1}H_{1}$绕$G_{1}$点按顺时针方向旋转，当$H_{1}$落在$CD$上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形$E_{2}F_{2}G_{1}H_{2}$，设旋转角为$α$，求$\cos α$的值．

难度：难

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4．已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，若CE=2，cos∠AEF= $\text{[math]}$ ，求BE的长．

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5．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB= $2%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，P是AC上的一个动点．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时▱DPBQ的面积．

难度：难

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6．如图，⊙O₁、⊙O₂相交于P、Q两点，其中⊙O₁的半径r₁=2，⊙O₂的半径r₂=
2
．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O₁和⊙O₂于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O₁和⊙O₂于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E．
（1）求证：
PA
PB
=
2
；
（2）若PQ=2，试求∠E度数．

难度：难

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7．将一个正方形纸板（如图-）沿虚线剪下，得到七块几何图形的纸板（其中①③⑤⑥⑦是等腰直角三角形，②是正方形）我们把这七块纸板叫做七巧板．现用七巧板拼出一个图形，其空隙部分是一个箭头（如图二）．

（1）请在图二中用实线画出拼图的痕迹（如实线DP）；
（2）如果图一中大正方形纸板的边长为10，计算图二中“箭头”的面积（即封闭平面图形ABCDEFG的面积）．

难度：难

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8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC边为直径的⊙O交AB于点D，连接OD并延长交CA的延长线于点E，过点D作DF⊥OE交EC于点F．
（1）求证：AF=CF．
（2）若ED=2，sin∠E=
3
5
，求AD的长．

难度：难

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9．如图，⊙O的割线PBA交⊙O于A、B，PE切⊙O于E，∠APE的平分线和AE、BE分别交于C、D，PE=4
3
，PB=4，∠AEB=60°．
（1）求证：△PDE∽△PCA；
（2）试求以PA、PB的长为根的一元二次方程；
（3）求⊙O的面积．（答案保留π）

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10．已知，如图⊙O₁与⊙O₂外切于点A，BC是⊙O₁和⊙O₂的公切线，B、C为切点．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）若r₁、r₂分别为⊙O₁、⊙O₂的半径，且r₁=2r₂．求
AB
AC
的值．

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