知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=-
3
16
ax2+
5
8
ax+3a（a≠0）与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，且OB=OC．
（1）求a的值；
（2）点D为OB中点，点E为OC中点，点F在y轴的负半轴上，点G在线段FD的延长线上，连接GE、ED，若FD=DG，且S_△GED=
27
2
，求点G的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P在线段OB上，点Q在线段OC的延长线上，且CQ=BP．连接PQ和BC交于点M，连接GM并延长GM交抛物线于点N，连接QN、GP和GB，若∠QPG-∠NQO=∠NQP-∠PGB时，求线段NQ的长．

难度：较难

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2．（2016•云梦县一模）如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，抛物线y=ax²+bx+c经过O、A、E三点．
（1）求AD的长．
（2）求此抛物线的解析式．
（3）若点P是此抛物线的对称轴上一动点，点Q是抛物线上的点，以点P、Q、O、D为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出P、Q的坐标；若不能，请说明理由．

难度：中等

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3．（2016•松江区二模）如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（-1，0），一次函数y=-x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点A、点B．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；
（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．

难度：中等

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4．如图：已知抛物线y=-x²+bx+9-b²（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点A．其顶点M在第一象限．点B（1，n）在这条抛物线上．
（1）求B点的坐标；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）．当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
（3）设点F是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点F作x轴的平行线交该抛物线于另一点G，再作FQ⊥x轴于点Q．GN⊥x轴于点N．求矩形FQNG的周长的最大值，并写出此时点F的坐标．

难度：中等

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5．（2016•宁波模拟）如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A（2，1），
（1）求出二次函数的表达式；
（2）我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n表示这条抛物线上所有的整点坐标．
（3）过y轴的正半轴上一点C（0，a）作AO的平行线交抛物线于点B，
①求出直线BC的函数表达式（用a表示）；
②如果点B是整点，求证：△OAB的面积是偶数．

难度：较难

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6．如图1，二次函数y=ax²+bx-3的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A（3，0），过点C作BC∥x轴，交抛物线于点B，并过点B 作BD⊥x轴，垂足为D．抛物线y=ax²+bx-3和反比例函数y=
k
x
（x＞0）的图象都经过点B（2，m），四边形OCBD的面积是6．
（1）求反比例函数、二次函数的解析式及抛物线的对称轴；
（2）如图2，点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．

难度：较难

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7．（2016•槐荫区一模）如图，抛物线y=-
1
8
x2+
1
2
x+4与y轴交于点A、与x轴分别交于B、C两点．
（1）求A、B两点坐标；
（2）将Rt△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，求点E的坐标；
（3）求出第一象限内的抛物线上与直线AE距离最远的点的坐标．

难度：较难

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8．（2016•吉林一模）如图，二次函数y=-
1
k
x²+k（k＞0）的图象与x轴相交于A、C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，点D为线段OC上一点（不与点O、C重合），以OD为边向上作正方形ODEF，连接AE，BE，AB，AB，设点D的横坐标为m．
（1）当k=3，m=2时，S_△ABE=    ，
当k=4，m=3时，S_△ABE=    ，
当k=5，m=4时，S_△ABE=    ；
（2）根据（1）中的结果，猜想S_△ABE的大小，并证明你的猜想；
（3）当S_△ABE=8时，在坐标平面内有一点P，其横坐标为n，当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出m与n满足的关系式．

难度：中等

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9．（2015秋•哈尔滨校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，A、D的坐标分别为（5，0）和（3，0）．
（1）已知抛物线y=2x²+bx+c经过B、D两点，求此抛物线的解析式；
（2）点P为线段CE上的动点，连接AP，当△PAE的面积为
27
20
时，求tan∠APE的值；
（3）将抛物线y=2x²+bx+c平移，使其经过点C，设抛物线与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点Q，使得△CMQ为等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；并直接写出满足（2）的P点是否在此时的抛物线上．

难度：中等

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10．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于C点，其部分值对应如下表：
x 0 1 2
ax² 1
ax²+bx+c -3 -3
（1）求该二次函数的解析式；
（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求圆心M和D点的坐标；
（3）连接BM、DM，将∠BMD绕点M逆时针旋转，两边BM、DM与x轴、y轴分别交于P、Q．若△PBM为等腰三角形，求Q点的坐标．

难度：较难

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x	0	1	2
ax²		1
ax²+bx+c	-3		-3