知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．已知f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N*) 经计算得f（2）=
3
2
，f(4)＞2，f(8)＞
5
2
，f(16)＞3，f(32)＞
7
2

，…，观察上述结果，可归纳出的一般结论为．

难度：较易

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4．观察下列各式：a+b=1，a²+b²=3，a³+b³=4，a⁴+b⁴=7，a⁵+b⁵=11，…，则a⁸+b⁸= ．

难度：中等

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5．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方向构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形

（1）求f（6）的值
（2）求出f（n）的表达式
（3）求证：1≤
1
f(1)
+
1
f(2)-1
+
1
f(3)-1
+…+
1
f(n)-1
＜
3
2
．

难度：中等

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6．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式：
2²=1+3    3²=1+3+5    4²=1+3+5+7 …
2³=3+5    3³=7+9+11   …
2⁴=7+9 …
按此规律，5⁴的分解式中的第三个数为    ．

难度：较难

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7．（1）数列{a_n}满足S_n=2n-a_n（n∈N^*）．计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（2）用分析法证明：若a＞0，则
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2．

难度：中等

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8．设函数f（x）=ax+b，其中a，b为常数，f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*，若f₃（x）=8x+21，则ab= ，f_n（x）= ．

难度：较难

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9．已知f(x)=
ax
a+x
(x≠-a)，且f（2）=1．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若在数列{a_n}中，a₁=1，an+1=f(an)，(n∈N*)，计算a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（Ⅲ）证明（Ⅱ）中的猜想．

难度：较难

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10．对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数f(x)=x3-
3
2
x2+3x-
1
4
，则它的对称中心为；计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)= ．

难度：较难

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