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          共50条信息

            • 1． 记等式1•n+2•（n-1）+3•（n-2）+…+n•1=
              1
              6
              n（n+1）（n+2）左边的式子为f（n），用数学归纳法证明该等式的第二步归纳递推时，即当n从k变为k+1时，等式左边的改变量f（k+1）-f（k）=（　　）
              A．k+1
              B．1•（k+1）+（k+1）•1
              C．1+2+3+…+k
              D．1+2+3+…+k+（k+1）
              难度：中等
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            • 2． 一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到
              1
              3
              ，记为f(1)=
              1
              3
              ；②当从A口输入自然数n（n≥2）时，在B口得到的结果f（n）是前一个结果f（n-1）的
              2(n-1)-1
              2(n-1)+3
              倍．
              （Ⅰ）当从A口分别输入自然数2，3，4时，从B口分别得到什么数？
              （Ⅱ）根据（Ⅰ）试猜想f（n）的关系式，并用数学归纳法证明你的结论．
              难度：中等
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            • 3． 当n∈N*时，Sn=1+2+3+…+（n+3），Tn=
              (n+3)(n+4)
              2
              ．
              （Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；
              （Ⅱ）猜想Sn与Tn的数量关系，并用数学归纳法证明．
              难度：中等
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            • 4． 用数学归纳法证明不等式1+
              1
              2
              +
              1
              3
              +…+
              1
              2n-1
              ＜n（n∈N，且n＞1）时，不等式的左边从n=k到n=k+1，需添加的式子是（　　）
              A．
              1
              2k
              +
              1
              2k+1
              +
              1
              2k+2
              +…+
              1
              2k+1-1
              B．
              1
              2k+1-1
              C．
              1
              2k
              +
              1
              2k+1-1
              D．
              1
              4
              +
              1
              5
              +
              1
              6
              +…+
              1
              2k+1-1
              难度：中等
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            • 5． 设Sn=
              1
              1×2
              +
              1
              2×3
              +
              1
              3×4
              +…+
              1
              n(n+1)

              （1）写出S1，S2，S3，S4的值，
              （2）归纳并猜想出Sn．
              难度：中等
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            • 6． [A]已知数列{an}满足a4=20，an+1=2an-n+1（n∈N+）．
              （1）计算a1，a2，a3，根据计算结果，猜想an的表达式（不必证明）；
              （2）用数学归纳法证明你的结论．
              难度：中等
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            • 7． 已知数列{an}满足：a1=3，an+1=an2-nan+1．
              （Ⅰ）求a2，a3，a4的值；
              （Ⅱ）猜测an与n+2的关系，并用数学归纳法证明．
              难度：中等
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            • 8． 用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N时，
              1
              n
              +
              1
              n+1
              +
              1
              n+2
              +…+
              1
              n2
              ＞1．
              难度：中等
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            • 9． 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=
              1
              2
              ，Sn=n2an．
              （1）分别计算a2，a3，a4，猜想通项公式an，并用数学归纳法证明之；
              （2）求数列{an}的前n项和Sn．
              难度：中等
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            • 10． 已知f（x）=
              x
              ex
              ，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，fn+1（x）=[fn（x）]′，n∈N．经计算f1（x）=
              1-x
              ex
              ，f2（x）=
              x-2
              ex
              ，f3（x）=
              3-x
              ex
              ，…，照此规律．
              （Ⅰ）请归纳出fn（x）的表达式；
              （Ⅱ）试用数学归纳法证明你的结论．
              难度：中等
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