知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•福建校级期末）如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA₁=2，∠A1AD=
π
3
，若O为AD的中点，且CD⊥A₁O．
（Ⅰ）求证：A₁O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D-A₁A-P的大小为
π
3
？若存在，求出BP的长；若不存在，说明理由．

难度：中等

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2．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是CC₁的中点，且A₁B⊥A₁D．
（1）证明：平面A₁BD⊥平面BDE；
（2）求直线A₁D与直线BE所成角的余弦值．

难度：中等

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3．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．
（1）证明：CE⊥AB；
（2）若二面角P-CD-A为60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值；
（3）若AB=kPA，求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．

难度：中等

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4．在△ABC中，AC=1，BC=
2
，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C，D两点在直线AB的两侧），当∠C变化时，线段CD长的最大值为．

难度：较难

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5．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA、PB、BC的中点．
（1）求点P到平面EFG的距离；
（2）求平面EFG与平面PAB夹角余弦值的大小．

难度：中等

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6．

如图，在大小为45°的二面角A-EF-D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与C两点间的距离是（　　）

A．

B．

C．1

D．

难度：较难

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7．有一山坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二面角的度数）是30°，如果在斜坡平面内沿着一条与斜坡底线成30°角的一条上山直道行走600米，则升高米．

难度：中等

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8．如图，某人沿山坡PQB的直行道AB向上行走，直行道AB与坡脚（直）线PQ成60°角，山坡与地平面所成二面角B-PQ-M的大小为30°．
求：（1）直行道AB与地平面PQMN所成的角的大小；
（2）若此人沿直行道AB向上行走了200米，那么此时离地平面的高度为多少？

难度：中等

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9．如图，圆锥的轴截面PAB是等腰直角三角形，AB的中点为O，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，D为线段OC的中点，E为母线PA上一点，且AE=3EP．
（1）证明：ED∥平面PCB；
（2）设二面角A-OP-C的大小为θ，二面角A-PC-B的大小为φ，求证
1
cos2φ
-
8
sin2θ
为定值，并求出此定值．

难度：中等

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10．如图所示，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，点E、D分别在边AB、AC上，且ED∥BC，AB⊥BC，沿DE折成直二面角A-ED-B，是否存在点E，使AC⊥DB？若存在，求BE的长；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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