知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，且对任意的正整数n，都有S_n+1=λS_n+3ⁿ⁺¹，其中常数λ＞0．设b_n=
an
3n
（n∈N^*）﹒
（1）若λ=3，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若λ≠1且λ≠3，设c_n=a_n+
2
λ-3
×3n（n∈N^*），证明数列{c_n}是等比数列；
（3）若对任意的正整数n，都有b_n≤3，求实数λ的取值范围．

难度：较难

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2．设数列{a_n}的所有项都是正数，前n项和为S_n，已知点P_n（a_n，S_n）（n∈N⁺）在一次函数y=kx+b的图象上，其中k为大于1的常数．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）已知a₁+a₆=66，a₂a₅=128，求b的值．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{
Sn
n
}是首项为0，公差为
1
2
的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
4
15
•（-2） an（n∈N^*），对任意的正整数k，将集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d_k，求证：数列{d_k}为等比数列．

难度：中等

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4．设数列{a_n}，a₁=4，a_n+1=3a_n+2n-1
（1）求证{a_n+n}是等比数列
（2）求a_n．

难度：中等

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5．数列{a_n}的通项公式为a_n=（
1
2
）^3-n，求证：数列{a_n}是等比数列，并求首项和公比．

难度：较易

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6．已知函数f（x）=
3x
2x+1
，数列{a_n}的首项a₁=t＞0，且a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若t=
3
5
，证明：{
1
an
-1}是等比数列并求出{a_n}的通项公式；
（2）若a_n+1＞a_n对一切n∈N^*都成立，求t的取值范围．

难度：中等

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7．在等比数列中，a₂=
4
9
，a₄=
16
81
，那么这个数列的公比是．

难度：中等

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8．若数列{a_n}的首项为1，且2a_n+1-a_n=2，
（1）求证：{a_n-2}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若b_n=-n（a_n-2），求证：数列{b_n}的前n项和S_n＜4．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=3a_n-2n．
（I）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和．

难度：中等

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10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，且2T_n=4S_n-（n²+n），n∈N^*．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）设b_n=
n+1
an+1
，比较b₁+b₂+…+b_n与3的大小．

难度：中等

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