知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•衡阳校级期末）某中学为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．
（1）试用x表示S，并求S的取值范围；
（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为
37k
S
，草坪的每平方米的造价为
12k
S
（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．

难度：中等

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2．为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，今年冬天，某水利工程队计划在黄河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为40000m²的矩形鱼塘，其四周都留有宽3m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．

难度：中等

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3．如图，某学校准备修建一个面积为2400平方米的矩形活动场地（图中ABCD）的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFCD为正方形，设AB=x米，已知围墙（包括EF）的修建费用均为每米500元，设围墙（包括EF）的修建总费用为y元．
（1）求出y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（2）当x为何值时，围墙（包括EF）的修建总费用y最小？并求出y的最小值．

难度：中等

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4．某供货商拟从码头A发货至其对岸l的两个商场B，C处，通常货物先由A处船运至BC之间的中转站D，再利用车辆转运．如图，码头A与两商场B，C的距离相等，两商场间的距离为20千米，且∠BAC=
π
2
．若一批货物从码头A
至D处的运费为100元/千米，这批货到D后需分别发车2辆、4辆转运至B、C处，每辆汽车运费为25元/千米．设∠ADB=α，该批货总运费为S元．
（Ⅰ）写出S关于α的函数关系式，并指出α的取值范围；
（Ⅱ）当α为何值时，总运费S最小？并求出S的最小值．

难度：中等

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5．做一个容积为256，底为正方形的长方体无盖水箱，它的高为时最省料．

难度：中等

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6．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=
a
x-4
+10（x-7）²，其中3＜x＜7，a为常数，已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（1）求a的值；
（2）若该商品的成本为4元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大并求出最大值．

难度：较难

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7．某水泥渠道的横截面为等腰梯形，上部宽下部窄，为保证额定流量，须使截面面积S为定值，若梯形的腰与下底的夹角为120°，为使水泥用料最省，需过水四周（即横截面的下底宽与两腰之和）最短，问此时腰长与下底宽之比是多少？

难度：中等

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8．已知实数x，y满足2x+y=8，当2≤x≤3时，求
y
x
的最大值与最小值．

难度：较难

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9．从边长为2a的正方形的四角各截去一个边长为x的正方形，再折起来做成一个无盖的方底盒子，问x为为何值，盒子的容积最大？

难度：较易

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10．在腰长为10cm的等腰直角三角形中作一个内接矩形，使它的一边上斜边上，另外两个顶点在两个腰上，那么，矩形的长与宽各位多少时，矩形面积最大？

难度：较易

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