知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知
C
4
n
，
C
5
n
，
C
6
n
成等差数列，则
C
12
n
的值为．

难度：较难

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2．（1）已知S=
A
1
1
+
A
2
2
+…+
A
2014
2014
，记S的个位上的数字为a，十位上的数字b，求a^b的值．
（2）求和S=
C
2
5
+
C
2
6
+
C
2
7
+…+
C
2
2014
（结果不必用具体数字表示）．

难度：中等

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3．（1）计算：C

2013
2014
+A

3
5
；
（2）观察下面一组组合数等式：C

1
n
=nC

0
n-1
；2C

2
n
=nC

1
n-1
；3C

3
n
=nC

2
n-1
；…由以上规律，请写出第k（k∈N^*）个等式并证明．

难度：中等

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4．规定
C
m
x
=
x(x-1)…(x-m+1)
m!
，其中x∈R，m是正整数，且
C
0
x
=1，这是组合数
C
m
n
（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求
C
3
-15
的值；
（2）设x＞0，当x为何值时，
C
3
x
(
C
1
x
)2
取得最小值？
（3）组合数的两个性质；①
C
m
n
=
C
n-m
n
；②
C
m
n
+
C
m-1
n
=
C
m
n+1
．是否都能推广到
C
m
x
（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．

难度：较难

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5．试用两种方法证明：
（1）
C
0
n
+
C
1
n
+…+
C
n
n
=2n(n∈N*)；
（2）
C
1
n
+2
C
2
n
+…+n
C
n
n
=n2n-1(n∈N*且n≥2)．

难度：较难

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6．已知C

2n-2
n2-7n
+A_13-n³＞2×5!，n∈N^*，那么n= ．

难度：中等

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7．证明：C

0
n
C

m
m
+C

1
n
C

m-1
m
+…+C

m
n
C

0
m
=C

m
m+n
（其中n≥m）．

难度：中等

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8．根据奇数原理，排列数A

m
n
有如下性质：A

m
n+1
=A

m
n
+mA

m-1
n
，据此类比，组合数C

m
n
具有的相应性质是：C

m
n+1
= ．

难度：较易

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9．解方程组：
2n-3r=0
C
r
n
(-1)r=15
．

难度：中等

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10．已知S_n=2ⁿ+C

1
n
2^n-1+C

2
n
2^n-2+…+C

n-1
n
2+1，（n∈N^*），求证：当n为偶数时，S_n-4n-1能被64整除．

难度：中等

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