7.
设函数f(x)定义域为[0,1],若f(x)在[0,x
*]上单调递增,在[x
*,1]上单调递减,则称x
*为函数f(x)的峰点,f(x)为含峰函数.(特别地,若f(x)在[0,1]上单调递增或递减,则峰点为1或0)
对于不易直接求出峰点x
*的含峰函数,可通过做试验的方法给出x
*的近似值.试验原理为:“对任意的x
1,x
2∈(0,1),x
1<x
2,若f(x
1)≥f(x
2),则(0,x
2)为含峰区间,此时称x
1为近似峰点;若f(x
1)<f(x
2),则(x
1,1)为含峰区间,此时称x
2为近似峰点”.
我们把近似峰点与x
*之间可能出现的最大距离称为试验的“预计误差”,记为d,其值为d=max{max{x
1,x
2-x
1},max{x
2-x
1,1-x
2}}(其中max{x,y}表示x,y中较大的数).
(Ⅰ)若x
1=
,x
2=
.求此试验的预计误差d.
(Ⅱ)如何选取x
1、x
2,才能使这个试验方案的预计误差达到最小?并证明你的结论(只证明x
1的取值即可)
(Ⅲ)选取x
1,x
2∈(0,1),x
1<x
2,可以确定含峰区间为(0,x
2)或(x
1,1).在所得的含峰区间内选取x
3,由x
3与x
1或x
3与x
2类似地可以进一步得到一个新的预计误差d′.分别求出当x
1=
和x
1=
时预计误差d′的最小值.(本问只写结果,不必证明)